Номер 30.37, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §30. Исследование функций на монотонность и экстремумы - номер 30.37, страница 120.

Условие.

30.37 По графику производной, изображённому на рисунке (см. с. 112—113), определите, имеет ли функция $y = f(x)$ точки экстремума:

а) рис. 49;

б) рис. 50;

в) рис. 51;

г) рис. 52.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы функция $y = f(x)$ имела точку экстремума, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке её производная $f'(x)$ была равна нулю и меняла свой знак. Геометрически это означает, что график производной $y = f'(x)$ должен пересекать ось абсцисс (ось $Ox$). Если график производной только касается оси $Ox$, но не пересекает её, то знак производной не меняется, и в этой точке экстремума нет. Если график производной вообще не пересекает ось $Ox$, то производная нигде не равна нулю, и, следовательно, у функции нет точек экстремума.

а) рис. 49;
На графике, соответствующем данному рисунку, производная $y = f'(x)$ пересекает ось абсцисс. В точках пересечения выполняются два условия: производная равна нулю ($f'(x) = 0$) и производная меняет свой знак (график переходит из положительной полуплоскости в отрицательную или наоборот). Следовательно, функция $y = f(x)$ имеет точки экстремума.
Ответ: да, имеет.

б) рис. 50;
На этом графике производная $y = f'(x)$ касается оси абсцисс, но не пересекает её. В точке касания производная равна нулю ($f'(x) = 0$), что является необходимым условием экстремума. Однако в окрестности этой точки производная сохраняет свой знак (например, остаётся неотрицательной). Поскольку не выполнено условие смены знака производной, в данной точке у функции $y = f(x)$ нет экстремума (это точка перегиба).
Ответ: нет, не имеет.

в) рис. 51;
График производной $y = f'(x)$ на этом рисунке не имеет общих точек с осью абсцисс, то есть расположен полностью выше или полностью ниже неё. Это означает, что производная $f'(x)$ нигде не обращается в ноль. Так как необходимое условие существования экстремума ($f'(x) = 0$) не выполняется ни в одной точке, функция $y = f(x)$ не имеет точек экстремума.
Ответ: нет, не имеет.

г) рис. 52.
На данном графике, как и в случае (а), производная $y = f'(x)$ пересекает ось абсцисс. В каждой точке пересечения производная обращается в ноль и меняет свой знак. Следовательно, каждая такая точка является точкой экстремума для функции $y = f(x)$.
Ответ: да, имеет.