Номер 30.38, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.38, страница 120.

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:

30.38 а) $y = 7 + 12x - x^3$;

б) $y = 8 + 2x^2 - x^4$;

в) $y = 3x^3 + 2x^2 - 7$;

г) $y = x^4 - 8x^2$.

а) $y = 7 + 12x - x^3$
1. Найдём производную функции:
$y' = (7 + 12x - x^3)' = 12 - 3x^2$
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$12 - 3x^2 = 0$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Производная $y' = -3(x-2)(x+2)$ является параболой с ветвями вниз.
- На интервале $(-\infty; -2)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2; 2)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(2; +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
4. Определим характер точек экстремума по смене знака производной:
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
Ответ: $x_{min} = -2$ — точка минимума, $x_{max} = 2$ — точка максимума.

б) $y = 8 + 2x^2 - x^4$
1. Найдём производную функции:
$y' = (8 + 2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x - 4x^3 = 0$
$4x(1 - x^2) = 0$
$4x(1 - x)(1 + x) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$ (например, при $x=-2$): $y'(-2) = 4(-2) - 4(-2)^3 = -8 + 32 = 24 > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$ (например, при $x=-0.5$): $y'(-0.5) = 4(-0.5) - 4(-0.5)^3 = -2 + 0.5 = -1.5 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$ (например, при $x=0.5$): $y'(0.5) = 4(0.5) - 4(0.5)^3 = 2 - 0.5 = 1.5 > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x=2$): $y'(2) = 4(2) - 4(2)^3 = 8 - 32 = -24 < 0$, функция убывает.
4. Определим характер точек экстремума:
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
Ответ: $x_{max} = -1$ — точка максимума, $x_{min} = 0$ — точка минимума, $x_{max} = 1$ — точка максимума.

в) $y = 3x^3 + 2x^2 - 7$
1. Найдём производную функции:
$y' = (3x^3 + 2x^2 - 7)' = 9x^2 + 4x$
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$9x^2 + 4x = 0$
$x(9x + 4) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -4/9$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -4/9)$, $(-4/9; 0)$ и $(0; +\infty)$. Производная $y' = x(9x+4)$ является параболой с ветвями вверх.
- На интервале $(-\infty; -4/9)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-4/9; 0)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
4. Определим характер точек экстремума:
- В точке $x = -4/9$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: $x_{max} = -4/9$ — точка максимума, $x_{min} = 0$ — точка минимума.

г) $y = x^4 - 8x^2$
1. Найдём производную функции:
$y' = (x^4 - 8x^2)' = 4x^3 - 16x$
2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^3 - 16x = 0$
$4x(x^2 - 4) = 0$
$4x(x - 2)(x + 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -2)$ (например, при $x=-3$): $y'(-3) = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2; 0)$ (например, при $x=-1$): $y'(-1) = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(0; 2)$ (например, при $x=1$): $y'(1) = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$ (например, при $x=3$): $y'(3) = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 > 0$, функция возрастает.
4. Определим характер точек экстремума:
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: $x_{min} = -2$ — точка минимума, $x_{max} = 0$ — точка максимума, $x_{min} = 2$ — точка минимума.