Номер 30.41, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.41, страница 120.

30.41 a) $y = -5x^5 + 3x^3;$

б) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13;$

В) $y = x^4 - 50x^2;$

Г) $y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3.$

а) $y = -5x^5 + 3x^3$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, найдем ее производную.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим первую производную функции:

$y' = (-5x^5 + 3x^3)' = -5 \cdot 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 = -25x^4 + 9x^2$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$-25x^4 + 9x^2 = 0$

$x^2(-25x^2 + 9) = 0$

Отсюда получаем $x^2 = 0$ или $-25x^2 + 9 = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $25x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{25} \implies x_{2,3} = \pm \frac{3}{5}$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; -3/5)$, $(-3/5; 0)$, $(0; 3/5)$, $(3/5; +\infty)$.

$y' = -x^2(25x^2 - 9) = -x^2(5x-3)(5x+3)$.

• При $x < -3/5$, например $x=-1$, $y' = -(-1)^2(25(-1)^2-9) = -(1)(16) < 0$, функция убывает.
• При $-3/5 < x < 0$, например $x=-0.1$, $y' = -(-0.1)^2(25(-0.1)^2-9) = -(0.01)(0.25-9) > 0$, функция возрастает.
• При $0 < x < 3/5$, например $x=0.1$, $y' = -(0.1)^2(25(0.1)^2-9) = -(0.01)(0.25-9) > 0$, функция возрастает.
• При $x > 3/5$, например $x=1$, $y' = -(1)^2(25(1)^2-9) = -(1)(16) < 0$, функция убывает.

5. Определяем точки экстремума:

• В точке $x = -3/5$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка локального минимума.
• В точке $x = 0$ знак производной не меняется, значит это не точка экстремума (а точка перегиба).
• В точке $x = 3/5$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка локального максимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума:

$y_{min} = y(-3/5) = -5(-\frac{3}{5})^5 + 3(-\frac{3}{5})^3 = -5(-\frac{243}{3125}) + 3(-\frac{27}{125}) = \frac{243}{625} - \frac{81 \cdot 5}{625} = \frac{243-405}{625} = -\frac{162}{625}$.

$y_{max} = y(3/5) = -5(\frac{3}{5})^5 + 3(\frac{3}{5})^3 = -5(\frac{243}{3125}) + 3(\frac{27}{125}) = -\frac{243}{625} + \frac{405}{625} = \frac{162}{625}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-3/5; 3/5]$, убывает на промежутках $(-\infty; -3/5]$ и $[3/5; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = -3/5$, значение в точке минимума $y_{min} = -162/625$. Точка максимума $x_{max} = 3/5$, значение в точке максимума $y_{max} = 162/625$.

---

б) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13$

1. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции:

$y' = (x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 13)' = 4x^3 - 12x^2 - 16x$.

3. Критические точки ($y'=0$):

$4x^3 - 12x^2 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 3x - 4) = 0$

$4x(x-4)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 4$.

4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 4)$, $(4; +\infty)$.

• При $x < -1$ (например, $x=-2$), $y' = 4(-2)((-2)-4)((-2)+1) = (-)(-)(-) < 0$, функция убывает.
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$), $y' = 4(-0.5)((-0.5)-4)((-0.5)+1) = (-)(-)(+) > 0$, функция возрастает.
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$), $y' = 4(1)(1-4)(1+1) = (+)(-)(+) < 0$, функция убывает.
• При $x > 4$ (например, $x=5$), $y' = 4(5)(5-4)(5+1) = (+)(+)(+) > 0$, функция возрастает.

5. Точки экстремума:

• $x = -1$: смена знака с «−» на «+» $\implies$ точка минимума.
• $x = 0$: смена знака с «+» на «−» $\implies$ точка максимума.
• $x = 4$: смена знака с «−» на «+» $\implies$ точка минимума.

6. Значения функции в точках экстремума:

$y_{min}(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 8(-1)^2 + 13 = 1 + 4 - 8 + 13 = 10$.

$y_{max}(0) = (0)^4 - 4(0)^3 - 8(0)^2 + 13 = 13$.

$y_{min}(4) = 4^4 - 4(4)^3 - 8(4)^2 + 13 = 256 - 256 - 8(16) + 13 = -128 + 13 = -115$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 4]$. Точка максимума $x_{max} = 0$, $y_{max} = 13$. Точки минимума $x_{min1} = -1$, $y_{min1} = 10$ и $x_{min2} = 4$, $y_{min2} = -115$.

---

в) $y = x^4 - 50x^2$

1. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции:

$y' = (x^4 - 50x^2)' = 4x^3 - 100x$.

3. Критические точки ($y'=0$):

$4x^3 - 100x = 0$

$4x(x^2 - 25) = 0$

$4x(x-5)(x+5) = 0$

Критические точки: $x_1 = -5$, $x_2 = 0$, $x_3 = 5$.

4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 5)$, $(5; +\infty)$.

• При $x < -5$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $-5 < x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $0 < x < 5$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 5$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. Точки экстремума:

• $x = -5$: смена знака с «−» на «+» $\implies$ точка минимума.
• $x = 0$: смена знака с «+» на «−» $\implies$ точка максимума.
• $x = 5$: смена знака с «−» на «+» $\implies$ точка минимума.

6. Значения функции в точках экстремума:

$y_{min}(-5) = (-5)^4 - 50(-5)^2 = 625 - 50(25) = 625 - 1250 = -625$.

$y_{max}(0) = 0^4 - 50(0)^2 = 0$.

$y_{min}(5) = 5^4 - 50(5)^2 = 625 - 50(25) = 625 - 1250 = -625$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5; 0]$ и $[5; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -5]$ и $[0; 5]$. Точка максимума $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$. Точки минимума $x_{min} = \pm 5$, $y_{min} = -625$.

---

г) $y = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3$

1. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная функции:

$y' = (2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3)' = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2$.

3. Критические точки ($y'=0$):

$10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 0$

$10x^2(x^2 + 2x - 3) = 0$

$10x^2(x+3)(x-1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Исследуем знак производной $y' = 10x^2(x+3)(x-1)$ на интервалах: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$. Знак $y'$ совпадает со знаком выражения $(x+3)(x-1)$, кроме точки $x=0$.

• При $x < -3$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $-3 < x < 1$ и $x \neq 0$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x > 1$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. Точки экстремума:

• $x = -3$: смена знака с «+» на «−» $\implies$ точка максимума.
• $x = 0$: знак не меняется $\implies$ не является точкой экстремума.
• $x = 1$: смена знака с «−» на «+» $\implies$ точка минимума.

6. Значения функции в точках экстремума:

$y_{max}(-3) = 2(-3)^5 + 5(-3)^4 - 10(-3)^3 + 3 = 2(-243) + 5(81) - 10(-27) + 3 = -486 + 405 + 270 + 3 = 192$.

$y_{min}(1) = 2(1)^5 + 5(1)^4 - 10(1)^3 + 3 = 2 + 5 - 10 + 3 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 1]$. Точка максимума $x_{max} = -3$, $y_{max} = 192$. Точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = 0$.