Номер 30.42, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.42, страница 120.

30.42 a) $y = x + \frac{4}{x}$;

б) $y = \frac{x^2 + 9}{x}$.

а) $y = x + \frac{4}{x}$

1. Область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума, найдем производную функции $y$ по $x$.

$y' = (x + \frac{4}{x})' = (x)' + (4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}$.

3. Нахождение критических точек.

Критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 1 - \frac{4}{x^2} = 0$

$\frac{x^2 - 4}{x^2} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$x^2 - 4 = 0$

$x^2 \neq 0$

Из первого уравнения получаем $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

Таким образом, критические точки: $x = -2$ и $x = 2$.

4. Анализ знаков производной.

Критические точки и точка разрыва $x=0$ делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

• На интервале $(-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $y'(-3) = 1 - \frac{4}{(-3)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$, значит, функция возрастает.
• На интервале $(-2; 0)$, возьмем $x=-1$: $y'(-1) = 1 - \frac{4}{(-1)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$, значит, функция убывает.
• На интервале $(0; 2)$, возьмем $x=1$: $y'(1) = 1 - \frac{4}{1^2} = 1 - 4 = -3 < 0$, значит, функция убывает.
• На интервале $(2; +\infty)$, возьмем $x=3$: $y'(3) = 1 - \frac{4}{3^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$, значит, функция возрастает.

5. Нахождение точек экстремума.

В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $[-2; 0)$ и $(0; 2]$. Точка максимума: $x_{max} = -2$, $y_{max} = -4$. Точка минимума: $x_{min} = 2$, $y_{min} = 4$.

б) $y = \frac{x^2+9}{x}$

1. Преобразование и область определения функции.

Представим функцию в виде суммы, разделив почленно числитель на знаменатель:

$y = \frac{x^2}{x} + \frac{9}{x} = x + \frac{9}{x}$.

Функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x \neq 0$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

Найдем производную функции для анализа ее поведения.

$y' = (x + \frac{9}{x})' = (x)' + (9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2}$.

3. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$y' = 0 \implies 1 - \frac{9}{x^2} = 0$

$\frac{x^2 - 9}{x^2} = 0$

Отсюда $x^2 - 9 = 0$ при условии $x^2 \neq 0$.

$x^2 = 9$, что дает $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

Критические точки: $x = -3$ и $x = 3$.

4. Анализ знаков производной.

Интервалы для анализа: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -3)$, возьмем $x=-4$: $y'(-4) = 1 - \frac{9}{(-4)^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(-3; 0)$, возьмем $x=-1$: $y'(-1) = 1 - \frac{9}{(-1)^2} = 1 - 9 = -8 < 0$, функция убывает.
• На интервале $(0; 3)$, возьмем $x=1$: $y'(1) = 1 - \frac{9}{1^2} = 1 - 9 = -8 < 0$, функция убывает.
• На интервале $(3; +\infty)$, возьмем $x=4$: $y'(4) = 1 - \frac{9}{4^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} > 0$, функция возрастает.

5. Нахождение точек экстремума.

В точке $x=-3$ производная меняет знак с «+» на «−», что соответствует точке локального максимума. Значение функции: $y(-3) = -3 + \frac{9}{-3} = -3 - 3 = -6$.

В точке $x=3$ производная меняет знак с «−» на «+», что соответствует точке локального минимума. Значение функции: $y(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутках $[-3; 0)$ и $(0; 3]$. Точка максимума: $x_{max} = -3$, $y_{max} = -6$. Точка минимума: $x_{min} = 3$, $y_{min} = 6$.