Номер 31.2, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.2, страница 121.

31.2 a) Функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

б) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

а) Функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

Для построения функции, удовлетворяющей заданным условиям, мы можем сконструировать её производную $f'(x)$ так, чтобы она отражала требуемые свойства, а затем найти саму функцию $f(x)$ интегрированием.

1. Условия на экстремумы. Наличие максимума в точке $x = -1$ и минимума в точке $x = 1$ для дифференцируемой функции означает, что её производная $f'(x)$ обращается в ноль в этих точках, то есть $f'(-1)=0$ и $f'(1)=0$. Это значит, что $f'(x)$ должна содержать множитель $(x+1)(x-1) = x^2-1$. Знак этого выражения меняется с «+» на «−» при переходе через $x = -1$ (что соответствует максимуму) и с «−» на «+» при переходе через $x = 1$ (что соответствует минимуму).

2. Условие разрыва. Разрыв функции в точке $x = -2$ означает, что сама функция (и, как правило, её производная) не определена в этой точке. Мы можем ввести этот разрыв, добавив в знаменатель производной множитель, обращающийся в ноль при $x = -2$. Чтобы не нарушить знаковую картину в точках экстремума, выберем множитель в четной степени, например $(x+2)^2$, который всегда неотрицателен.

Таким образом, выберем производную в виде:$f'(x) = \frac{x^2-1}{(x+2)^2}$Эта производная имеет нули в точках $x=\pm 1$ и разрыв в точке $x=-2$. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $x^2-1$, что обеспечивает максимум в $x=-1$ и минимум в $x=1$.

Теперь найдем искомую функцию $f(x)$ путем интегрирования $f'(x)$:$f(x) = \int \frac{x^2-1}{(x+2)^2} \,dx$Для вычисления интеграла применим подстановку $u = x+2$, откуда $x = u-2$. Тогда $x^2-1 = (u-2)^2-1 = u^2-4u+3$. Интеграл преобразуется к виду:$\int \frac{u^2-4u+3}{u^2} \,du = \int \left(1 - \frac{4}{u} + \frac{3}{u^2}\right) \,du = u - 4\ln|u| - \frac{3}{u} + C$Возвращаясь к переменной $x$, получаем:$f(x) = (x+2) - 4\ln|x+2| - \frac{3}{x+2} + C$Для простоты можно выбрать константу $C$ так, чтобы избавиться от свободного члена +2 (например, положив $C=-2$).

Ответ: $y = x - 4\ln|x+2| - \frac{3}{x+2}$

б) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

Построим функцию, удовлетворяющую данным условиям.

1. Условие на асимптоту. Горизонтальная асимптота $y=3$ при $x \to \infty$ означает, что $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$. Это условие удобно выполнить, представив функцию в виде $f(x) = 3 + g(x)$, где $\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$.

2. Условия на экстремумы. Наличие одной точки максимума и одной точки минимума означает, что производная функции $f'(x)$ должна иметь два различных действительных корня, в которых она меняет знак.

В качестве $g(x)$ выберем дробно-рациональную функцию, у которой степень знаменателя больше степени числителя, чтобы обеспечить стремление к нулю на бесконечности. Чтобы избежать лишних разрывов (вертикальных асимптот), выберем знаменатель, который не обращается в ноль, например $x^2+1$.Пусть $g(x) = \frac{ax+b}{x^2+1}$. Тогда искомая функция имеет вид:$f(x) = 3 + \frac{ax+b}{x^2+1}$Найдем её производную:$f'(x) = (3 + \frac{ax+b}{x^2+1})' = \frac{a(x^2+1) - (ax+b)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{ax^2+a-2ax^2-2bx}{(x^2+1)^2} = \frac{-ax^2-2bx+a}{(x^2+1)^2}$Для существования двух точек экстремума необходимо, чтобы уравнение $-ax^2-2bx+a=0$ имело два различных действительных корня. Для этого дискриминант $D$ этого квадратного трехчлена должен быть строго положителен:$D = (-2b)^2 - 4(-a)(a) = 4b^2 + 4a^2 = 4(a^2+b^2)$Дискриминант $D > 0$ при любых $a$ и $b$, не равных нулю одновременно.Выберем простые значения, например $a=1$ и $b=1$. Тогда функция примет вид:$f(x) = 3 + \frac{x+1}{x^2+1}$Её производная $f'(x) = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$ обращается в ноль, когда $-x^2-2x+1=0$, то есть при $x = -1 \pm \sqrt{2}$. Так как корней два, функция имеет две точки экстремума (максимум и минимум). Асимптота $y=3$ выполняется по построению.

Ответ: $y = 3 + \frac{x+1}{x^2+1}$