Номер 30.45, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §30. Исследование функций на монотонность и экстремумы - номер 30.45, страница 121.

Условие.

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

30.45 а) $y = |x - 3| - 2;$

в) $y = |(x - 2)(x + 3)|;$

б) $y = \left|\frac{1}{x} - 1\right|;$

г) $y = (|x| - 2)|x|.$

Решение 2.

Решение 6.

а) $y = |x - 3| - 2$

Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Для исследования функции раскроем модуль. Определение модуля $|a|$: $|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

В нашем случае: $y = \begin{cases} (x - 3) - 2, & \text{если } x - 3 \ge 0 \\ -(x - 3) - 2, & \text{если } x - 3 < 0 \end{cases}$
Это эквивалентно системе: $y = \begin{cases} x - 5, & \text{если } x \ge 3 \\ -x + 1, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Найдем производную функции на каждом из интервалов: $y' = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 3 \\ -1, & \text{если } x < 3 \end{cases}$
В точке $x = 3$ производная не существует (функция имеет излом), поэтому $x=3$ является критической точкой.

Монотонность:
1. При $x \in (-\infty, 3)$, производная $y' = -1 < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$.
2. При $x \in (3, +\infty)$, производная $y' = 1 > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[3, +\infty)$.

Экстремумы:
В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = 3$ является точкой минимума.
Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(3) = |3 - 3| - 2 = -2$.
Точка минимума функции: $(3, -2)$. Это глобальный минимум, так как $y(x) \ge -2$ для всех $x$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 3]$ и возрастает на промежутке $[3, +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = 3$, значение в минимуме $y_{min} = -2$.

---

б) $y = \left|\frac{1}{x} - 1\right|$

Область определения функции: $x \ne 0$, то есть $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Раскроем модуль, для этого определим знак выражения $\frac{1}{x} - 1$.
$\frac{1}{x} - 1 \ge 0 \implies \frac{1-x}{x} \ge 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (0, 1]$.

Таким образом, функция задается кусочно: $y = \begin{cases} \frac{1}{x} - 1, & \text{если } x \in (0, 1] \\ -(\frac{1}{x} - 1) = 1 - \frac{1}{x}, & \text{если } x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty) \end{cases}$

Найдем производную на каждом интервале: $y' = \begin{cases} -\frac{1}{x^2}, & \text{если } x \in (0, 1) \\ \frac{1}{x^2}, & \text{если } x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \end{cases}$
В точке $x=1$ производная не существует (излом). Это критическая точка. Точка $x=0$ - точка разрыва.

Монотонность:
1. При $x \in (-\infty, 0)$, $y' = \frac{1}{x^2} > 0$, функция возрастает.
2. При $x \in (0, 1)$, $y' = -\frac{1}{x^2} < 0$, функция убывает.
3. При $x \in (1, +\infty)$, $y' = \frac{1}{x^2} > 0$, функция возрастает.

Экстремумы:
В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = 1$ является точкой минимума.
Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(1) = \left|\frac{1}{1} - 1\right| = 0$.
Точка минимума: $(1, 0)$. Поскольку $y(x) = |...| \ge 0$, это глобальный минимум. Максимумов у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $(0, 1]$. Точка минимума $x_{min} = 1$, значение в минимуме $y_{min} = 0$.

---

в) $y = |(x - 2)(x + 3)|$

Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Раскроем модуль. Выражение под модулем $(x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6$ является параболой с ветвями вверх, пересекающей ось Ox в точках $x = 2$ и $x = -3$.
Выражение $x^2 + x - 6 \ge 0$ при $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.
Выражение $x^2 + x - 6 < 0$ при $x \in (-3, 2)$.

Функция задается кусочно: $y = \begin{cases} x^2 + x - 6, & \text{если } x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty) \\ -(x^2 + x - 6) = -x^2 - x + 6, & \text{если } x \in (-3, 2) \end{cases}$

Найдем производную: $y' = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty) \\ -2x - 1, & \text{если } x \in (-3, 2) \end{cases}$
Критические точки: $x=-3, x=2$ (точки излома) и точки, где $y'=0$.
$-2x - 1 = 0 \implies x = -0.5$. Эта точка принадлежит интервалу $(-3, 2)$.

Монотонность:
1. При $x \in (-\infty, -3)$, $y' = 2x + 1 < 0$, функция убывает.
2. При $x \in (-3, -0.5)$, $y' = -2x - 1 > 0$, функция возрастает.
3. При $x \in (-0.5, 2)$, $y' = -2x - 1 < 0$, функция убывает.
4. При $x \in (2, +\infty)$, $y' = 2x + 1 > 0$, функция возрастает.

Экстремумы:
- В точке $x = -3$ убывание сменяется возрастанием, значит это точка минимума. $y_{min} = y(-3) = 0$.
- В точке $x = -0.5$ возрастание сменяется убыванием, значит это точка максимума. $y_{max} = y(-0.5) = |-(-0.5)^2 - (-0.5) + 6| = |-0.25+0.5+6| = 6.25$.
- В точке $x = 2$ убывание сменяется возрастанием, значит это точка минимума. $y_{min} = y(2) = 0$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[-0.5, 2]$, возрастает на промежутках $[-3, -0.5]$ и $[2, +\infty)$. Точки минимума: $x_{min1} = -3$, $x_{min2} = 2$ (значение в обеих точках 0). Точка максимума: $x_{max} = -0.5$ (значение 6.25).

---

г) $y = (|x| - 2)|x|$

Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Заметим, что $y(-x) = (|-x| - 2)|-x| = (|x| - 2)|x| = y(x)$, следовательно, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy. Исследуем функцию для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = (x - 2)x = x^2 - 2x$.

Найдем производную для $x > 0$: $y' = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.
Найдем критические точки: $y' = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1$.
Точка $x=0$ также является критической (из-за симметрии и модуля).

Монотонность для $x \ge 0$:
1. При $x \in [0, 1)$, $y' = 2x - 2 < 0$, функция убывает.
2. При $x \in (1, +\infty)$, $y' = 2x - 2 > 0$, функция возрастает.

Монотонность на всей числовой оси (используя четность):
- Убывает на $[0, 1]$, значит, из-за симметрии, возрастает на $[-1, 0]$.
- Возрастает на $[1, +\infty)$, значит, из-за симметрии, убывает на $(-\infty, -1]$.
Итого: функция убывает на $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, возрастает на $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$.

Экстремумы:
- В точке $x = -1$ убывание сменяется возрастанием $\implies$ точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (|-1| - 2)|-1| = (1-2) \cdot 1 = -1$.
- В точке $x = 0$ возрастание сменяется убыванием $\implies$ точка максимума. $y_{max} = y(0) = (|0| - 2)|0| = 0$.
- В точке $x = 1$ убывание сменяется возрастанием $\implies$ точка минимума. $y_{min} = y(1) = (|1| - 2)|1| = (1-2) \cdot 1 = -1$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$. Точки минимума: $x_{min1} = -1$, $x_{min2} = 1$ (значение в обеих точках -1). Точка максимума: $x_{max} = 0$ (значение 0).