Номер 30.44, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§30. Исследование функций на монотонность и экстремумы. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 30.44, страница 121.

30.44 a) $y = x - 2 \cos x, x \in [-\pi; \pi];$

б) $y = 2 \sin x - x, x \in [\pi; 3\pi].$

а) $y = x - 2\cos x, x \in [-\pi; \pi]$

Чтобы найти множество значений функции на отрезке, необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения. Для этого найдем значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x - 2\cos x)' = 1 - 2(-\sin x) = 1 + 2\sin x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$1 + 2\sin x = 0$

$2\sin x = -1$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

3. Корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$, это:

$x_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = -\frac{5\pi}{6}$.

4. Вычислим значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка:

• $y(-\pi) = -\pi - 2\cos(-\pi) = -\pi - 2(-1) = 2 - \pi$
• $y(\pi) = \pi - 2\cos(\pi) = \pi - 2(-1) = \pi + 2$
• $y(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - 2\cos(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}$
• $y(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6} - 2\cos(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6} - 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6}$

5. Сравним полученные значения, чтобы найти наименьшее и наибольшее. Воспользуемся приближенными значениями $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{3} \approx 1.73$.

• $y(-\pi) = 2 - \pi \approx 2 - 3.14 = -1.14$
• $y(\pi) = \pi + 2 \approx 3.14 + 2 = 5.14$
• $y(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3} \approx -0.52 - 1.73 = -2.25$
• $y(-\frac{5\pi}{6}) = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6} \approx 1.73 - 2.62 = -0.89$

Из сравнения видно, что наименьшее значение функции $y_{min} = -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}$, а наибольшее значение $y_{max} = \pi + 2$.

Таким образом, множество значений функции на данном отрезке: $[-\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}; \pi + 2]$.

Ответ: $[-\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}; \pi + 2]$

б) $y = 2\sin x - x, x \in [\pi; 3\pi]$

Действуем по той же схеме.

1. Найдем производную функции:

$y' = (2\sin x - x)' = 2\cos x - 1$.

2. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$2\cos x - 1 = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

3. Общее решение этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, принадлежащие отрезку $[\pi; 3\pi]$:

• При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Этот корень входит в отрезок $[\pi; 3\pi]$.
• При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Этот корень также входит в отрезок $[\pi; 3\pi]$.

Итак, критические точки на отрезке: $x_1 = \frac{5\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{7\pi}{3}$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• $y(\pi) = 2\sin(\pi) - \pi = 2 \cdot 0 - \pi = -\pi$
• $y(3\pi) = 2\sin(3\pi) - 3\pi = 2 \cdot 0 - 3\pi = -3\pi$
• $y(\frac{5\pi}{3}) = 2\sin(\frac{5\pi}{3}) - \frac{5\pi}{3} = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3}$
• $y(\frac{7\pi}{3}) = 2\sin(\frac{7\pi}{3}) - \frac{7\pi}{3} = 2\sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) - \frac{7\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{7\pi}{3}$

5. Сравним полученные значения:

• $y(\pi) = -\pi \approx -3.14$
• $y(3\pi) = -3\pi \approx -9.42$
• $y(\frac{5\pi}{3}) = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3} \approx -1.73 - \frac{5 \cdot 3.14}{3} \approx -1.73 - 5.23 = -6.96$
• $y(\frac{7\pi}{3}) = \sqrt{3} - \frac{7\pi}{3} \approx 1.73 - \frac{7 \cdot 3.14}{3} \approx 1.73 - 7.33 = -5.6$

Наибольшее из этих значений равно $-\pi$, а наименьшее равно $-3\pi$.

Следовательно, множество значений функции на данном отрезке: $[-3\pi; -\pi]$.

Ответ: $[-3\pi; -\pi]$