Номер 31.4, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.4, страница 121.

31.4 а) $y = 3x^2 - x^3;$

б) $y = -9x + x^3;$

в) $y = x^3 + 3x^2;$

г) $y = 3x - x^3.$

а) $y = 3x^2 - x^3$

Для исследования функции найдем ее производную, критические точки, промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$6x - 3x^2 = 0$

$3x(2 - x) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- Если $x < 0$, то $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $y'(-1) = -6-3=-9$), следовательно, функция убывает на $(-\infty; 0]$.

- Если $0 < x < 2$, то $y' > 0$ (например, при $x=1$, $y'(1) = 6-3=3$), следовательно, функция возрастает на $[0; 2]$.

- Если $x > 2$, то $y' < 0$ (например, при $x=3$, $y'(3) = 18-27=-9$), следовательно, функция убывает на $[2; +\infty)$.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$.

6. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = 0$, $y(0) = 0$. Точка максимума $x_{max} = 2$, $y(2) = 4$.

б) $y = -9x + x^3$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (-9x + x^3)' = -9 + 3x^2$

3. Находим критические точки:

$-9 + 3x^2 = 0$

$3x^2 = 9$

$x^2 = 3$

Критические точки: $x_1 = -\sqrt{3}$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

- Если $x < -\sqrt{3}$, то $y' > 0$ (например, при $x=-2$, $y'(-2) = -9+12=3$), следовательно, функция возрастает на $(-\infty; -\sqrt{3}]$.

- Если $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$, то $y' < 0$ (например, при $x=0$, $y'(0) = -9$), следовательно, функция убывает на $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

- Если $x > \sqrt{3}$, то $y' > 0$ (например, при $x=2$, $y'(2) = -9+12=3$), следовательно, функция возрастает на $[\sqrt{3}; +\infty)$.

5. В точке $x = -\sqrt{3}$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума: $y_{max} = y(-\sqrt{3}) = -9(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})^3 = 9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

6. В точке $x = \sqrt{3}$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума: $y_{min} = y(\sqrt{3}) = -9(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^3 = -9\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$. Точка максимума $x_{max} = -\sqrt{3}$, $y(-\sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$. Точка минимума $x_{min} = \sqrt{3}$, $y(\sqrt{3}) = -6\sqrt{3}$.

в) $y = x^3 + 3x^2$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$

3. Находим критические точки:

$3x^2 + 6x = 0$

$3x(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 0$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

- Если $x < -2$, то $y' > 0$ (например, при $x=-3$, $y'(-3) = 27-18=9$), следовательно, функция возрастает на $(-\infty; -2]$.

- Если $-2 < x < 0$, то $y' < 0$ (например, при $x=-1$, $y'(-1) = 3-6=-3$), следовательно, функция убывает на $[-2; 0]$.

- Если $x > 0$, то $y' > 0$ (например, при $x=1$, $y'(1) = 3+6=9$), следовательно, функция возрастает на $[0; +\infty)$.

5. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума: $y_{max} = y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$.

6. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума: $y_{min} = y(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 0]$. Точка максимума $x_{max} = -2$, $y(-2) = 4$. Точка минимума $x_{min} = 0$, $y(0) = 0$.

г) $y = 3x - x^3$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$

3. Находим критические точки:

$3 - 3x^2 = 0$

$3(1 - x^2) = 0$

$x^2 = 1$

Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

- Если $x < -1$, то $y' < 0$ (например, при $x=-2$, $y'(-2) = 3-12=-9$), следовательно, функция убывает на $(-\infty; -1]$.

- Если $-1 < x < 1$, то $y' > 0$ (например, при $x=0$, $y'(0) = 3$), следовательно, функция возрастает на $[-1; 1]$.

- Если $x > 1$, то $y' < 0$ (например, при $x=2$, $y'(2) = 3-12=-9$), следовательно, функция убывает на $[1; +\infty)$.

5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума: $y_{min} = y(-1) = 3(-1) - (-1)^3 = -3 - (-1) = -2$.

6. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума: $y_{max} = y(1) = 3(1) - 1^3 = 3 - 1 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = -1$, $y(-1) = -2$. Точка максимума $x_{max} = 1$, $y(1) = 2$.