Номер 31.11, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.11, страница 122.

31.11 а) $y = \frac{2x+1}{x^2+2};$

б) $y = \frac{x-2}{x^2+5}.$

а)

Чтобы найти область значений функции $y = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$, рассмотрим это выражение как уравнение относительно $x$ при заданном значении $y$.

$y = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$

Поскольку знаменатель $x^2 + 2 > 0$ для любого действительного $x$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^2 + 2$:

$y(x^2 + 2) = 2x + 1$

$yx^2 + 2y = 2x + 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$yx^2 - 2x + (2y - 1) = 0$

Это уравнение имеет действительные решения для $x$ тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $y = 0$, уравнение становится линейным: $-2x - 1 = 0$, откуда $x = -1/2$. Это означает, что $y=0$ входит в область значений функции.

2. Если $y \neq 0$, уравнение является квадратным. Вычислим его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot y \cdot (2y - 1) = 4 - 8y^2 + 4y$

Условие $D \ge 0$ дает нам неравенство:

$4 - 8y^2 + 4y \ge 0$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства:

$2y^2 - y - 1 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $2y^2 - y - 1 = 0$:

$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$

Корни уравнения: $y_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$.

Так как парабола $f(y) = 2y^2 - y - 1$ направлена ветвями вверх, неравенство $2y^2 - y - 1 \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).

Следовательно, $-\frac{1}{2} \le y \le 1$.

Этот интервал включает значение $y=0$, рассмотренное ранее. Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-\frac{1}{2}, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{1}{2}, 1]$.

б)

Для нахождения области значений функции $y = \frac{x - 2}{x^2 + 5}$ воспользуемся аналогичным методом.

Выразим $x$ через $y$.

$y = \frac{x - 2}{x^2 + 5}$

Знаменатель $x^2 + 5$ всегда положителен, поэтому умножим обе части на него:

$y(x^2 + 5) = x - 2$

$yx^2 + 5y = x - 2$

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно $x$:

$yx^2 - x + (5y + 2) = 0$

Это уравнение должно иметь действительные решения для $x$, что возможно, если его дискриминант $D \ge 0$.

1. Если $y = 0$, уравнение становится линейным: $-x + 2 = 0$, откуда $x = 2$. Значение $y=0$ принадлежит области значений.

2. Если $y \neq 0$, уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot (5y + 2) = 1 - 20y^2 - 8y$

Из условия $D \ge 0$ получаем:

$1 - 20y^2 - 8y \ge 0$

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:

$20y^2 + 8y - 1 \le 0$

Найдем корни уравнения $20y^2 + 8y - 1 = 0$:

$y_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1)}}{2 \cdot 20} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{40} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{40} = \frac{-8 \pm 12}{40}$

Корни: $y_1 = \frac{-8 - 12}{40} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{-8 + 12}{40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$.

Парабола $f(y) = 20y^2 + 8y - 1$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $20y^2 + 8y - 1 \le 0$ выполняется для значений $y$ между корнями.

Таким образом, $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{10}$.

Данный отрезок включает в себя $y=0$. Следовательно, область значений функции есть отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{10}]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{10}]$.