Номер 31.17, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§31. Построение графиков функций. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 31.17, страница 123.

31.17 a) $ \sin 5x - 2 \cos x - 8x = x^5 - 2; $

б) $ 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} + 15x = 4 - x^3. $

а)

Перепишем исходное уравнение $\sin 5x - 2\cos x - 8x = x^5 - 2$ в виде равенства двух функций. Перенесем слагаемые таким образом, чтобы сгруппировать тригонометрические и алгебраические части:

$\sin 5x - 2\cos x + 2 = x^5 + 8x$

Рассмотрим две функции: левую часть $f(x) = \sin 5x - 2\cos x + 2$ и правую часть $g(x) = x^5 + 8x$. Решения исходного уравнения — это абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

1. Анализ функции $f(x) = \sin 5x - 2\cos x + 2$

Эта функция является комбинацией тригонометрических функций. Оценим ее область значений.Поскольку $-1 \le \sin 5x \le 1$ и $-1 \le \cos x \le 1$, то $-2 \le -2\cos x \le 2$.Следовательно, для суммы $\sin 5x - 2\cos x$ имеем:- Минимальное значение: $\min(\sin 5x) + \min(-2\cos x) = -1 - 2 = -3$.- Максимальное значение: $\max(\sin 5x) + \max(-2\cos x) = 1 + 2 = 3$.Таким образом, $-3 \le \sin 5x - 2\cos x \le 3$.Тогда для функции $f(x)$ имеем:$-3 + 2 \le f(x) \le 3 + 2$, что дает $-1 \le f(x) \le 5$.Функция $f(x)$ является ограниченной.

2. Анализ функции $g(x) = x^5 + 8x$

Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную:$g'(x) = (x^5 + 8x)' = 5x^4 + 8$.Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $5x^4 \ge 0$. Следовательно, $g'(x) = 5x^4 + 8 \ge 8 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.Поскольку производная $g'(x)$ всегда положительна, функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

3. Поиск и доказательство единственности решения

Попробуем найти корень уравнения $f(x) = g(x)$ подбором. Проверим $x=0$:$f(0) = \sin(0) - 2\cos(0) + 2 = 0 - 2(1) + 2 = 0$.$g(0) = 0^5 + 8(0) = 0$.Поскольку $f(0) = g(0)$, то $x=0$ является решением уравнения.

Чтобы доказать, что это решение единственное, рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = g(x) - f(x) = x^5 + 8x - \sin 5x + 2\cos x - 2$.Корни исходного уравнения — это нули функции $h(x)$. Мы уже знаем, что $h(0) = 0$.Найдем производную функции $h(x)$:$h'(x) = g'(x) - f'(x)$.$f'(x) = (\sin 5x - 2\cos x + 2)' = 5\cos 5x + 2\sin x$.$h'(x) = (5x^4 + 8) - (5\cos 5x + 2\sin x)$.Оценим значение $h'(x)$. Мы знаем, что $g'(x) = 5x^4 + 8 \ge 8$.Для производной $f'(x)$ справедлива оценка: $|f'(x)| = |5\cos 5x + 2\sin x| \le |5\cos 5x| + |2\sin x| \le 5(1) + 2(1) = 7$.Значит, $-7 \le f'(x) \le 7$.Тогда $h'(x) = g'(x) - f'(x) \ge \min(g'(x)) - \max(f'(x)) = 8 - 7 = 1$.Поскольку $h'(x) \ge 1 > 0$ для всех $x$, функция $h(x)$ является строго возрастающей. Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз, в частности, значение 0.Так как $h(0) = 0$, то $x=0$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=0$.

б)

Преобразуем исходное уравнение $4\cos 3x + 5\sin\frac{x}{2} + 15x = 4 - x^3$, сгруппировав слагаемые:

$x^3 + 15x + 4\cos 3x + 5\sin\frac{x}{2} - 4 = 0$

Рассмотрим функцию $h(x) = x^3 + 15x + 4\cos 3x + 5\sin\frac{x}{2} - 4$. Нам нужно найти нули этой функции.

1. Поиск решения

Проверим, является ли $x=0$ корнем уравнения:$h(0) = 0^3 + 15(0) + 4\cos(0) + 5\sin(0) - 4 = 0 + 0 + 4(1) + 5(0) - 4 = 4 - 4 = 0$.Да, $x=0$ является решением.

2. Доказательство единственности решения

Для доказательства единственности корня исследуем функцию $h(x)$ на монотонность с помощью ее производной.$h'(x) = (x^3 + 15x + 4\cos 3x + 5\sin\frac{x}{2} - 4)'$$h'(x) = 3x^2 + 15 - 4\sin(3x) \cdot 3 + 5\cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2}$$h'(x) = 3x^2 + 15 - 12\sin 3x + \frac{5}{2}\cos\frac{x}{2}$Сгруппируем слагаемые: $h'(x) = (3x^2 + 15) + (\frac{5}{2}\cos\frac{x}{2} - 12\sin 3x)$.

Оценим каждое слагаемое в выражении для $h'(x)$:- Алгебраическая часть: $3x^2 + 15$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $3x^2 \ge 0$, и минимальное значение этого выражения равно $15$ (достигается при $x=0$).- Тригонометрическая часть: $\frac{5}{2}\cos\frac{x}{2} - 12\sin 3x$. Оценим ее минимальное значение.Поскольку $-1 \le \cos\frac{x}{2} \le 1$ и $-1 \le \sin 3x \le 1$, то:$\min(\frac{5}{2}\cos\frac{x}{2}) = -\frac{5}{2}$.$\min(-12\sin 3x) = -12$.Следовательно, минимальное значение тригонометрической части: $-\frac{5}{2} - 12 = -2.5 - 12 = -14.5$.Теперь оценим $h'(x)$:$h'(x) \ge \min(3x^2 + 15) + \min(\frac{5}{2}\cos\frac{x}{2} - 12\sin 3x)$$h'(x) \ge 15 + (-14.5) = 0.5$.Поскольку $h'(x) \ge 0.5 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза.Так как мы нашли, что $h(0) = 0$, то $x=0$ — это единственный корень данного уравнения.

Ответ: $x=0$.