Номер 32.5, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.5, страница 124.

32.5 a) $y = 12x^4, [-1; 2];$

Б) $y = -6x^5, [0,1; 2];$

В) $y = -3x^7, [0; 1];$

Г) $y = \frac{1}{9}x^4, [-1; 3].$

а)

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 12x^4$ на отрезке $[-1; 2]$ используется следующий алгоритм.

1. Находим производную функции: $y' = (12x^4)' = 12 \cdot 4x^3 = 48x^3$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $48x^3 = 0$, откуда $x = 0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

3. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка:$y(0) = 12 \cdot 0^4 = 0$;$y(-1) = 12 \cdot (-1)^4 = 12 \cdot 1 = 12$;$y(2) = 12 \cdot 2^4 = 12 \cdot 16 = 192$.

4. Сравниваем полученные значения: $0$, $12$ и $192$. Наименьшее значение функции на отрезке — $0$, а наибольшее — $192$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = 192$.

б)

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = -6x^5$ на отрезке $[0; 2]$. (Примечание: запись интервала в условии $[0,1; 2]$ является нестандартной, поэтому предполагается, что имелся в виду отрезок $[0; 2]$).

1. Находим производную функции: $y' = (-6x^5)' = -6 \cdot 5x^4 = -30x^4$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$: $-30x^4 = 0$, откуда $x=0$. Эта точка совпадает с левым концом заданного отрезка.

3. Поскольку производная $y' = -30x^4 \le 0$ для всех действительных $x$, функция является невозрастающей (убывающей) на всей числовой прямой. Следовательно, на отрезке $[0; 2]$ наибольшее значение достигается в левой граничной точке ($x=0$), а наименьшее — в правой ($x=2$).

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:$y(0) = -6 \cdot 0^5 = 0$;$y(2) = -6 \cdot 2^5 = -6 \cdot 32 = -192$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -192$, наибольшее значение $y_{наиб} = 0$.

в)

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = -3x^7$ на отрезке $[0; 1]$.

1. Находим производную функции: $y' = (-3x^7)' = -3 \cdot 7x^6 = -21x^6$.

2. Критическая точка находится из условия $y' = 0$: $-21x^6 = 0$, что дает $x=0$. Эта точка является левым концом отрезка.

3. Производная $y' = -21x^6$ неположительна ($y' \le 0$) для всех $x$, поэтому функция является невозрастающей. На отрезке $[0; 1]$ наибольшее значение будет в точке $x=0$, а наименьшее — в точке $x=1$.

4. Вычисляем значения на концах отрезка:$y(0) = -3 \cdot 0^7 = 0$;$y(1) = -3 \cdot 1^7 = -3$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -3$, наибольшее значение $y_{наиб} = 0$.

г)

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{1}{9}x^4$ на отрезке $[-1; 3]$.

1. Находим производную функции: $y' = (\frac{1}{9}x^4)' = \frac{1}{9} \cdot 4x^3 = \frac{4}{9}x^3$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $\frac{4}{9}x^3 = 0$, откуда $x=0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 3]$.

3. Вычисляем значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=3$:$y(0) = \frac{1}{9} \cdot 0^4 = 0$;$y(-1) = \frac{1}{9} \cdot (-1)^4 = \frac{1}{9}$;$y(3) = \frac{1}{9} \cdot 3^4 = \frac{1}{9} \cdot 81 = 9$.

4. Сравнивая полученные значения $0$, $\frac{1}{9}$ и $9$, заключаем, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $9$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = 9$.