Номер 32.10, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.10, страница 124.

32.10 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$ на отрезке:

а) $[0; 2];$

б) $[3; 6];$

в) $[-1; 3];$

г) $[2; 7].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$ на заданных отрезках, сначала найдём её производную и критические точки.

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 9x^2 + 15x - 3)' = 3x^2 - 18x + 15$

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$3x^2 - 18x + 15 = 0$

Разделив уравнение на 3, получаем:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Теперь исследуем функцию на каждом отрезке, вычисляя её значения в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка.

---

а) [0; 2]

Отрезку $[0; 2]$ принадлежит критическая точка $x = 1$.

Вычислим значения функции:

$y(0) = 0^3 - 9 \cdot 0^2 + 15 \cdot 0 - 3 = -3$

$y(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 3 = 1 - 9 + 15 - 3 = 4$

$y(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 - 3 = 8 - 36 + 30 - 3 = -1$

Среди значений $\{-3, 4, -1\}$ наибольшее равно 4, а наименьшее равно -3.

Ответ: наибольшее значение 4, наименьшее значение -3.

---

б) [3; 6]

Отрезку $[3; 6]$ принадлежит критическая точка $x = 5$.

Вычислим значения функции:

$y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 - 3 = 27 - 81 + 45 - 3 = -12$

$y(5) = 5^3 - 9 \cdot 5^2 + 15 \cdot 5 - 3 = 125 - 225 + 75 - 3 = -28$

$y(6) = 6^3 - 9 \cdot 6^2 + 15 \cdot 6 - 3 = 216 - 324 + 90 - 3 = -21$

Среди значений $\{-12, -28, -21\}$ наибольшее равно -12, а наименьшее равно -28.

Ответ: наибольшее значение -12, наименьшее значение -28.

---

в) [-1; 3]

Отрезку $[-1; 3]$ принадлежит критическая точка $x = 1$.

Вычислим значения функции:

$y(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 15(-1) - 3 = -1 - 9 - 15 - 3 = -28$

$y(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 3 = 1 - 9 + 15 - 3 = 4$

$y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 - 3 = 27 - 81 + 45 - 3 = -12$

Среди значений $\{-28, 4, -12\}$ наибольшее равно 4, а наименьшее равно -28.

Ответ: наибольшее значение 4, наименьшее значение -28.

---

г) [2; 7]

Отрезку $[2; 7]$ принадлежит критическая точка $x = 5$.

Вычислим значения функции:

$y(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 - 3 = 8 - 36 + 30 - 3 = -1$

$y(5) = 5^3 - 9 \cdot 5^2 + 15 \cdot 5 - 3 = 125 - 225 + 75 - 3 = -28$

$y(7) = 7^3 - 9 \cdot 7^2 + 15 \cdot 7 - 3 = 343 - 441 + 105 - 3 = 4$

Среди значений $\{-1, -28, 4\}$ наибольшее равно 4, а наименьшее равно -28.

Ответ: наибольшее значение 4, наименьшее значение -28.