Номер 32.17, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.17, страница 125.

Найдите область значений функции:

32.17 a) $y = 2x - \sqrt{16x - 4}$, $x \in \left[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}\right];$

б) $y = 2\sqrt{x - 1} - 0,5x$, $x \in [1; 10].$

а) Чтобы найти область значений функции $y = 2x - \sqrt{16x - 4}$ на отрезке $x \in [\frac{1}{4}; \frac{17}{4}]$, найдем ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Поскольку функция непрерывна на данном отрезке, эти значения достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка.
1. Найдем производную функции:
$y' = (2x - \sqrt{16x - 4})' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{16x - 4}} \cdot (16x - 4)' = 2 - \frac{16}{2\sqrt{16x - 4}} = 2 - \frac{8}{\sqrt{16x - 4}}$.
2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$2 - \frac{8}{\sqrt{16x - 4}} = 0$
$2\sqrt{16x - 4} = 8$
$\sqrt{16x - 4} = 4$
Возведя обе части в квадрат, получим:
$16x - 4 = 16$
$16x = 20$
$x = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.
Эта точка $x = \frac{5}{4}$ принадлежит отрезку $[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}]$. Производная не определена в точке $x = \frac{1}{4}$, которая является концом отрезка.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке:
- При $x = \frac{1}{4}$: $y(\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{4}) - \sqrt{16(\frac{1}{4}) - 4} = \frac{1}{2} - \sqrt{4 - 4} = 0.5$.
- При $x = \frac{5}{4}$: $y(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4}) - \sqrt{16(\frac{5}{4}) - 4} = \frac{5}{2} - \sqrt{20 - 4} = 2.5 - \sqrt{16} = 2.5 - 4 = -1.5$.
- При $x = \frac{17}{4}$: $y(\frac{17}{4}) = 2(\frac{17}{4}) - \sqrt{16(\frac{17}{4}) - 4} = \frac{17}{2} - \sqrt{68 - 4} = 8.5 - \sqrt{64} = 8.5 - 8 = 0.5$.
4. Сравнивая полученные значения ($0.5$, $-1.5$, $0.5$), заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-1.5$, а наибольшее — $0.5$.
Следовательно, область значений функции есть отрезок от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $[-1.5; 0.5]$.

б) Чтобы найти область значений функции $y = 2\sqrt{x-1} - 0.5x$ на отрезке $x \in [1; 10]$, найдем ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.
1. Найдем производную функции:
$y' = (2\sqrt{x-1} - 0.5x)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - 0.5 = \frac{1}{\sqrt{x-1}} - 0.5$.
2. Найдем критические точки из условия $y' = 0$:
$\frac{1}{\sqrt{x-1}} - 0.5 = 0$
$\frac{1}{\sqrt{x-1}} = 0.5$
$\sqrt{x-1} = 2$
Возведя обе части в квадрат, получим:
$x - 1 = 4$
$x = 5$.
Эта точка $x = 5$ принадлежит отрезку $[1; 10]$. Производная не определена при $x=1$, что является концом отрезка.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
- При $x = 1$: $y(1) = 2\sqrt{1-1} - 0.5(1) = 2 \cdot 0 - 0.5 = -0.5$.
- При $x = 5$: $y(5) = 2\sqrt{5-1} - 0.5(5) = 2\sqrt{4} - 2.5 = 2 \cdot 2 - 2.5 = 4 - 2.5 = 1.5$.
- При $x = 10$: $y(10) = 2\sqrt{10-1} - 0.5(10) = 2\sqrt{9} - 5 = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$.
4. Сравнивая полученные значения ($-0.5$, $1.5$, $1$), заключаем, что наименьшее значение функции равно $-0.5$, а наибольшее — $1.5$.
Таким образом, область значений функции на данном отрезке есть промежуток от наименьшего до наибольшего значения.
Ответ: $[-0.5; 1.5]$.