Номер 32.21, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.21, страница 126.

32.21 Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение.

Пусть искомые положительные числа – это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, мы имеем два соотношения:
1. Произведение чисел равно 484: $x \cdot y = 484$.
2. Сумма чисел $S = x + y$ должна принимать наибольшее значение.

Поскольку оба числа положительные ($x > 0, y > 0$), мы можем выразить одно через другое из первого уравнения. Например, выразим $y$ через $x$: $y = \frac{484}{x}$

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы, чтобы получить функцию суммы, зависящую только от одной переменной $x$: $S(x) = x + \frac{484}{x}$

Нам необходимо найти наибольшее значение функции $S(x)$ на ее области определения, которая для положительного числа $x$ является интервалом $(0, +\infty)$. Для этого исследуем поведение функции на границах этого интервала.

1. Рассмотрим, что происходит с суммой, когда одно из чисел становится очень маленьким (стремится к нулю). Пусть $x \to 0^+$. Тогда второе число $y = \frac{484}{x}$ будет стремиться к плюс бесконечности ($+\infty$). Их сумма $S(x)$ также будет стремиться к плюс бесконечности: $\lim_{x \to 0^+} S(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x + \frac{484}{x}\right) = 0 + \infty = +\infty$

2. Теперь рассмотрим, что происходит, когда одно из чисел становится очень большим. Пусть $x \to +\infty$. Тогда второе число $y = \frac{484}{x}$ будет стремиться к нулю. Их сумма $S(x)$ будет стремиться к плюс бесконечности за счет первого слагаемого: $\lim_{x \to +\infty} S(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + \frac{484}{x}\right) = \infty + 0 = +\infty$

Поскольку в обоих случаях, когда одно из чисел очень маленькое, а другое очень большое, их сумма неограниченно возрастает, функция $S(x)$ не имеет максимального (наибольшего) значения. Всегда можно найти такую пару чисел, произведение которых равно 484, а сумма будет больше любого наперед заданного значения.

Например:
- Если $x=1$, то $y=484$, и их сумма $S = 485$.
- Если $x=0.1$, то $y=4840$, и их сумма $S = 4840.1$.
- Если $x=10000$, то $y=0.0484$, и их сумма $S = 10000.0484$.
Как видно, чем дальше множители друг от друга, тем больше их сумма.

Таким образом, не существует двух положительных чисел, произведение которых равно 484, а сумма принимает наибольшее значение.

Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и требовалось найти наименьшее значение суммы. В этом случае задача имела бы решение. Наименьшее значение суммы достигается, когда числа равны друг другу: $x = y = \sqrt{484} = 22$.

Ответ: Заданная задача не имеет решения. Не существует таких двух положительных чисел, произведение которых равно 484, а их сумма принимает наибольшее значение, поскольку эта сумма может быть сколь угодно большой.