Номер 32.21, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции - номер 32.21, страница 126.

Условие.

32.21 Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть искомые положительные числа – это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, мы имеем два соотношения:
1. Произведение чисел равно 484: $x \cdot y = 484$.
2. Сумма чисел $S = x + y$ должна принимать наибольшее значение.

Поскольку оба числа положительные ($x > 0, y > 0$), мы можем выразить одно через другое из первого уравнения. Например, выразим $y$ через $x$: $y = \frac{484}{x}$

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы, чтобы получить функцию суммы, зависящую только от одной переменной $x$: $S(x) = x + \frac{484}{x}$

Нам необходимо найти наибольшее значение функции $S(x)$ на ее области определения, которая для положительного числа $x$ является интервалом $(0, +\infty)$. Для этого исследуем поведение функции на границах этого интервала.

1. Рассмотрим, что происходит с суммой, когда одно из чисел становится очень маленьким (стремится к нулю). Пусть $x \to 0^+$. Тогда второе число $y = \frac{484}{x}$ будет стремиться к плюс бесконечности ($+\infty$). Их сумма $S(x)$ также будет стремиться к плюс бесконечности: $\lim_{x \to 0^+} S(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x + \frac{484}{x}\right) = 0 + \infty = +\infty$

2. Теперь рассмотрим, что происходит, когда одно из чисел становится очень большим. Пусть $x \to +\infty$. Тогда второе число $y = \frac{484}{x}$ будет стремиться к нулю. Их сумма $S(x)$ будет стремиться к плюс бесконечности за счет первого слагаемого: $\lim_{x \to +\infty} S(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + \frac{484}{x}\right) = \infty + 0 = +\infty$

Поскольку в обоих случаях, когда одно из чисел очень маленькое, а другое очень большое, их сумма неограниченно возрастает, функция $S(x)$ не имеет максимального (наибольшего) значения. Всегда можно найти такую пару чисел, произведение которых равно 484, а сумма будет больше любого наперед заданного значения.

Например:
- Если $x=1$, то $y=484$, и их сумма $S = 485$.
- Если $x=0.1$, то $y=4840$, и их сумма $S = 4840.1$.
- Если $x=10000$, то $y=0.0484$, и их сумма $S = 10000.0484$.
Как видно, чем дальше множители друг от друга, тем больше их сумма.

Таким образом, не существует двух положительных чисел, произведение которых равно 484, а сумма принимает наибольшее значение.

Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и требовалось найти наименьшее значение суммы. В этом случае задача имела бы решение. Наименьшее значение суммы достигается, когда числа равны друг другу: $x = y = \sqrt{484} = 22$.

Ответ: Заданная задача не имеет решения. Не существует таких двух положительных чисел, произведение которых равно 484, а их сумма принимает наибольшее значение, поскольку эта сумма может быть сколь угодно большой.