Номер 32.28, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.28, страница 126.

32.28 Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью $2500 \text{ м}^2$. Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?

Это задача на оптимизацию. Нам нужно найти размеры прямоугольника, которые при заданной площади минимизируют его периметр.

Пусть стороны прямоугольной спортивной площадки равны $a$ и $b$ метров.

Площадь площадки $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 2500$ м², следовательно, у нас есть уравнение:
$a \cdot b = 2500$

Количество сетки, необходимое для забора, равно периметру площадки $P$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых периметр $P$ будет наименьшим.

Из уравнения площади выразим одну из сторон через другую. Например, выразим $b$ через $a$:
$b = \frac{2500}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу для периметра. Таким образом, мы получим функцию периметра, зависящую только от одной переменной $a$:
$P(a) = 2(a + \frac{2500}{a}) = 2a + \frac{5000}{a}$

Чтобы найти минимальное значение функции $P(a)$, нужно найти её производную по $a$ и приравнять её к нулю.
$P'(a) = (2a + \frac{5000}{a})' = (2a + 5000a^{-1})' = 2 - 5000a^{-2} = 2 - \frac{5000}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек (точек возможного экстремума):
$P'(a) = 0$
$2 - \frac{5000}{a^2} = 0$
$2 = \frac{5000}{a^2}$
$2a^2 = 5000$
$a^2 = 2500$
Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, берём положительный корень:
$a = \sqrt{2500} = 50$ м.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, а не максимума, найдем вторую производную:
$P''(a) = (2 - 5000a^{-2})' = -5000 \cdot (-2)a^{-3} = \frac{10000}{a^3}$
При $a=50$, значение второй производной $P''(50) = \frac{10000}{50^3} > 0$. Положительное значение второй производной подтверждает, что при $a=50$ м функция периметра достигает своего минимума.

Теперь, зная одну сторону, найдём вторую сторону $b$:
$b = \frac{2500}{a} = \frac{2500}{50} = 50$ м.

Таким образом, для того чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки, спортивная площадка должна иметь форму квадрата со стороной 50 метров. Это общий принцип: для заданной площади наименьший периметр имеет квадрат.

Ответ: Размеры площадки должны быть 50 м на 50 м.