Номер 32.29, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.29, страница 126.

32.29 Сторона квадрата $ABCD$ равна $8$ см. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты соответственно точки $P$ и $E$ так, что $BP = BE = 3$ см. На сторонах $AD$ и $CD$ берутся точки соответственно $K$ и $M$ так, что четырёхугольник $KPEM$ — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину D квадрата в начало координат (0,0). Так как сторона квадрата ABCD равна 8 см, то координаты его вершин будут: D(0, 0), A(0, 8), B(8, 8), C(8, 0).

Теперь определим координаты точек P, E, K, M:

• Точка P лежит на стороне AB, которая является отрезком прямой $y=8$ для $x \in [0, 8]$. По условию $BP = 3$ см. Так как B имеет координаты (8, 8), то координаты точки P будут $(8-3, 8)$, то есть P(5, 8).
• Точка E лежит на стороне BC, которая является отрезком прямой $x=8$ для $y \in [0, 8]$. По условию $BE = 3$ см. Так как B имеет координаты (8, 8), то координаты точки E будут $(8, 8-3)$, то есть E(8, 5).
• Точка K лежит на стороне AD, которая является отрезком прямой $x=0$ для $y \in [0, 8]$. Обозначим расстояние от D до K как $k$, тогда точка K имеет координаты (0, k), где $0 \le k \le 8$.
• Точка M лежит на стороне CD, которая является отрезком прямой $y=0$ для $x \in [0, 8]$. Обозначим расстояние от D до M как $m$, тогда точка M имеет координаты (m, 0), где $0 \le m \le 8$.

Четырехугольник KPEM является трапецией, если у него есть пара параллельных сторон. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Основания трапеции — стороны KM и PE

Условием параллельности сторон KM и PE является равенство их угловых коэффициентов. Найдем угловой коэффициент прямой PE, проходящей через точки P(5, 8) и E(8, 5): $k_{PE} = \frac{5-8}{8-5} = \frac{-3}{3} = -1$.

Найдем угловой коэффициент прямой KM, проходящей через точки K(0, k) и M(m, 0): $k_{KM} = \frac{0-k}{m-0} = -\frac{k}{m}$.

Из условия $k_{KM} = k_{PE}$ следует, что $-\frac{k}{m} = -1$, откуда $k = m$.

Площадь трапеции KPEM можно вычислить, вычтя из площади квадрата площади четырех угловых треугольников: $\triangle APK$, $\triangle PBE$, $\triangle ECM$ и $\triangle KDM$. Площадь квадрата $S_{ABCD} = 8^2 = 64$ см$^2$.

• $S_{APK} = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (8-k) = 20 - 2.5k$.
• $S_{PBE} = \frac{1}{2} \cdot BP \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$.
• $S_{ECM} = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot (8-5) \cdot (8-m) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (8-m) = 20 - 2.5m$.
• $S_{KDM} = \frac{1}{2} \cdot DK \cdot DM = \frac{1}{2}km$.

Площадь трапеции $S_{KPEM} = S_{ABCD} - S_{APK} - S_{PBE} - S_{ECM} - S_{KDM}$:

$S(k, m) = 64 - (20 - 2.5k) - 4.5 - (20 - 2.5m) - 0.5km = 19.5 + 2.5(k+m) - 0.5km$.

Подставив $k=m$, получим функцию площади от одной переменной $k$:

$S(k) = 19.5 + 2.5(k+k) - 0.5k^2 = -0.5k^2 + 5k + 19.5$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины: $k_0 = -\frac{5}{2(-0.5)} = 5$.

Значение $k=5$ лежит в допустимом диапазоне $0 \le k \le 8$. Следовательно, максимальная площадь в этом случае равна:

$S_{max1} = S(5) = -0.5(5^2) + 5(5) + 19.5 = -12.5 + 25 + 19.5 = 32$ см$^2$.

Ответ: 32 см$^2$.

2. Основания трапеции — стороны KP и ME

Условие параллельности — равенство угловых коэффициентов $k_{KP}$ и $k_{ME}$.

$k_{KP} = \frac{8-k}{5-0} = \frac{8-k}{5}$.

$k_{ME} = \frac{5-0}{8-m} = \frac{5}{8-m}$.

Из равенства $\frac{8-k}{5} = \frac{5}{8-m}$ получаем соотношение $(8-k)(8-m) = 25$.

Используем выведенную ранее формулу площади $S(k, m) = 19.5 + 2.5(k+m) - 0.5km$.

Из $(8-k)(8-m)=25$ следует $64 - 8k - 8m + km = 25$, откуда $km = 8k + 8m - 39$.

Подставим $km$ в формулу площади:

$S(k,m) = 19.5 + 2.5(k+m) - 0.5(8k + 8m - 39) = 19.5 + 2.5k + 2.5m - 4k - 4m + 19.5 = 39 - 1.5(k+m)$.

Чтобы найти максимальную площадь, нужно найти минимальное значение суммы $k+m$ при ограничениях $0 \le k,m \le 8$ и $(8-k)(8-m) = 25$.

Пусть $x = 8-k$ и $y = 8-m$. Тогда $xy=25$. Из $0 \le k,m \le 8$ следует $0 \le x,y \le 8$. Из $y=25/x$ и $y \le 8$ получаем $25/x \le 8$, то есть $x \ge \frac{25}{8}$. Таким образом, $x, y \in [\frac{25}{8}, 8]$.

Сумма $k+m = (8-x) + (8-y) = 16 - (x+y)$. Минимизация $k+m$ эквивалентна максимизации $x+y$ на отрезке $x \in [\frac{25}{8}, 8]$.

Функция $f(x) = x+\frac{25}{x}$ на отрезке $[\frac{25}{8}, 8]$ достигает своего максимума на концах отрезка. Если $x=\frac{25}{8}$, то $y=8$, и $x+y = \frac{25}{8} + 8 = \frac{89}{8}$. Если $x=8$, то $y=\frac{25}{8}$, и $x+y = 8 + \frac{25}{8} = \frac{89}{8}$. Максимальное значение $x+y$ равно $\frac{89}{8}$.

Минимальное значение $k+m = 16 - \frac{89}{8} = \frac{128-89}{8} = \frac{39}{8}$.

Максимальная площадь в этом случае:

$S_{max2} = 39 - 1.5 \cdot (\frac{39}{8}) = 39 - \frac{3}{2} \cdot \frac{39}{8} = 39 - \frac{117}{16} = \frac{624 - 117}{16} = \frac{507}{16} = 31.6875$ см$^2$.

Ответ: 31.6875 см$^2$.

3. Основания трапеции — стороны KE и PM

$k_{KE} = \frac{5-k}{8-0} = \frac{5-k}{8}$.

$k_{PM} = \frac{0-8}{m-5} = \frac{-8}{m-5}$.

Из условия параллельности $\frac{5-k}{8} = \frac{-8}{m-5}$ получаем $(5-k)(m-5)=-64$, или $(k-5)(m-5)=64$.

Так как $0 \le k \le 8$, то $-5 \le k-5 \le 3$. Аналогично, $-5 \le m-5 \le 3$. Максимальное значение произведения $|(k-5)(m-5)|$ равно $|(-5) \cdot (-5)| = 25$. Поскольку $25 < 64$, уравнение $(k-5)(m-5)=64$ не имеет решений в заданных границах. Этот случай невозможен.

Ответ: Данный случай невозможен.

Сравнение результатов и итоговый вывод

Сравнивая максимальные площади, полученные в рассмотренных случаях:

$S_{max1} = 32$ см$^2$.

$S_{max2} = 31.6875$ см$^2$.

Наибольшее возможное значение площади трапеции равно 32 см$^2$.

Ответ: 32 см$^2$.