Номер 32.36, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.36, страница 127.

32.36 Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Пусть дана равнобокая трапеция, у которой боковые стороны равны $c=15$ см и одно из оснований равно $a=15$ см. Обозначим длину второго основания через $x$. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$ S = \frac{a+x}{2} \cdot h $

где $h$ — высота трапеции.

Чтобы найти площадь, необходимо выразить высоту $h$ через $x$. Проведем в трапеции высоты из вершин меньшего основания к большему. Они отсекут от большего основания два равных отрезка. Длина каждого такого отрезка равна полуразности оснований: $ \frac{|a-x|}{2} = \frac{|15-x|}{2} $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и отрезком, отсекаемым высотой на большем основании (второй катет). По теореме Пифагора:

$ h^2 + \left(\frac{|15-x|}{2}\right)^2 = c^2 $

Так как $(|15-x|)^2 = (15-x)^2$, то:

$ h^2 + \frac{(15-x)^2}{4} = 15^2 $

$ h^2 = 225 - \frac{225 - 30x + x^2}{4} = \frac{900 - (225 - 30x + x^2)}{4} = \frac{-x^2 + 30x + 675}{4} $

$ h = \frac{1}{2}\sqrt{-x^2 + 30x + 675} $

Для существования трапеции высота $h$ должна быть действительным положительным числом, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$ -x^2 + 30x + 675 > 0 $

$ x^2 - 30x - 675 < 0 $

Найдем корни уравнения $x^2 - 30x - 675 = 0$. Дискриминант $D = (-30)^2 - 4(1)(-675) = 900 + 2700 = 3600 = 60^2$.

$ x_{1,2} = \frac{30 \pm 60}{2} $, откуда $x_1 = 45$ и $x_2 = -15$.

Неравенство $x^2 - 30x - 675 < 0$ выполняется для $x \in (-15, 45)$. Поскольку длина основания $x$ должна быть положительной, область определения для $x$ есть $x \in (0, 45)$.

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу площади:

$ S(x) = \frac{15+x}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{-x^2 + 30x + 675} = \frac{1}{4}(x+15)\sqrt{-x^2 + 30x + 675} $

Чтобы найти значение $x$, при котором площадь максимальна, нужно найти максимум функции $S(x)$. Максимум функции $S(x)$ будет достигаться при том же значении $x$, что и максимум функции $S^2(x)$, так как $S(x) > 0$. Это позволяет избежать работы с производной от квадратного корня.

Пусть $f(x) = S^2(x) = \frac{1}{16}(x+15)^2(-x^2 + 30x + 675)$.

Найдем производную $f'(x)$ по правилу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$ f'(x) = \frac{1}{16} \left[ (2(x+15))(-x^2 + 30x + 675) + (x+15)^2(-2x + 30) \right] $

Вынесем общий множитель $2(x+15)$ за скобки:

$ f'(x) = \frac{2(x+15)}{16} \left[ (-x^2 + 30x + 675) + (x+15)(-x + 15) \right] $

$ f'(x) = \frac{x+15}{8} \left[ -x^2 + 30x + 675 + (225 - x^2) \right] $

$ f'(x) = \frac{x+15}{8} (-2x^2 + 30x + 900) $

$ f'(x) = \frac{-2(x+15)}{8} (x^2 - 15x - 450) = -\frac{1}{4}(x+15)(x^2 - 15x - 450) $

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$ f'(x) = 0 \implies -\frac{1}{4}(x+15)(x^2 - 15x - 450) = 0 $

Поскольку $x > 0$, множитель $(x+15)$ не равен нулю. Значит, нужно решить уравнение:

$ x^2 - 15x - 450 = 0 $

Дискриминант $D = (-15)^2 - 4(1)(-450) = 225 + 1800 = 2025 = 45^2$.

$ x_{1,2} = \frac{15 \pm 45}{2} $

$ x_1 = \frac{15+45}{2} = 30 $

$ x_2 = \frac{15-45}{2} = -15 $

Критическая точка $x = -15$ не входит в область определения $x \in (0, 45)$. Единственная критическая точка в нашем интервале — $x=30$.

Определим знак производной на интервалах $(0, 30)$ и $(30, 45)$, чтобы убедиться, что $x=30$ является точкой максимума. Знак $f'(x)$ противоположен знаку выражения $g(x) = x^2 - 15x - 450$.

• При $x \in (0, 30)$, например $x=20$, $g(20) = 400 - 300 - 450 = -350 < 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$, и функция $S(x)$ возрастает.
• При $x \in (30, 45)$, например $x=40$, $g(40) = 1600 - 600 - 450 = 550 > 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция $S(x)$ убывает.

Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $x=30$, эта точка является точкой максимума для функции площади $S(x)$.

Таким образом, площадь трапеции будет наибольшей, когда длина второго основания равна 30 см.

Ответ: 30 см.