Номер 32.32, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 5. Производная. §32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции - номер 32.32, страница 127.

Условие.

32.32 Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдёт наименьшее количество материала?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи необходимо найти размеры бака, при которых площадь его поверхности будет минимальной при заданном объеме.

Пусть $x$ — длина стороны квадратного основания бака, а $h$ — его высота. Все размеры будем измерять в дециметрах (дм), так как 1 литр равен 1 кубическому дециметру (дм³).

Объем бака $V$ равен 32 л, или 32 дм³. Формула для объема бака с квадратным основанием: $V = x \cdot x \cdot h = x^2h$ Таким образом, мы имеем уравнение-ограничение: $x^2h = 32$

Количество материала, необходимого для изготовления бака, определяется площадью его поверхности. Так как бак открытый (без крышки), его поверхность состоит из дна (основания) и четырех боковых стенок.

Площадь основания: $S_{осн} = x^2$
Площадь боковой поверхности (четыре прямоугольника со сторонами $x$ и $h$): $S_{бок} = 4xh$
Общая площадь поверхности, которую нужно минимизировать: $S(x, h) = S_{осн} + S_{бок} = x^2 + 4xh$

Чтобы найти минимум функции $S(x, h)$, выразим одну переменную через другую, используя уравнение для объема. Удобнее выразить $h$: $h = \frac{32}{x^2}$

Подставим это выражение в формулу площади поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $x$: $S(x) = x^2 + 4x\left(\frac{32}{x^2}\right) = x^2 + \frac{128}{x}$

Для нахождения минимального значения функции $S(x)$, найдем ее производную и приравняем к нулю. $S'(x) = \left(x^2 + \frac{128}{x}\right)' = (x^2 + 128x^{-1})' = 2x - 128x^{-2} = 2x - \frac{128}{x^2}$

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(x) = 0$: $2x - \frac{128}{x^2} = 0$
$2x = \frac{128}{x^2}$
$2x^3 = 128$
$x^3 = 64$
$x = \sqrt[3]{64} = 4$

Итак, мы нашли единственную критическую точку $x = 4$ дм. Проверим, является ли она точкой минимума, с помощью второй производной: $S''(x) = \left(2x - 128x^{-2}\right)' = 2 - 128(-2)x^{-3} = 2 + \frac{256}{x^3}$

Вычислим значение второй производной в точке $x = 4$: $S''(4) = 2 + \frac{256}{4^3} = 2 + \frac{256}{64} = 2 + 4 = 6$

Поскольку $S''(4) > 0$, точка $x = 4$ является точкой минимума функции $S(x)$.

Теперь найдем соответствующую высоту $h$: $h = \frac{32}{x^2} = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2$

Таким образом, для того чтобы на изготовление бака ушло наименьшее количество материала, его размеры должны быть: сторона основания — 4 дм, высота — 2 дм.

Ответ: сторона основания 4 дм, высота 2 дм.