Номер 32.32, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.32, страница 127.

32.32 Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдёт наименьшее количество материала?

Для решения этой задачи необходимо найти размеры бака, при которых площадь его поверхности будет минимальной при заданном объеме.

Пусть $x$ — длина стороны квадратного основания бака, а $h$ — его высота. Все размеры будем измерять в дециметрах (дм), так как 1 литр равен 1 кубическому дециметру (дм³).

Объем бака $V$ равен 32 л, или 32 дм³. Формула для объема бака с квадратным основанием: $V = x \cdot x \cdot h = x^2h$ Таким образом, мы имеем уравнение-ограничение: $x^2h = 32$

Количество материала, необходимого для изготовления бака, определяется площадью его поверхности. Так как бак открытый (без крышки), его поверхность состоит из дна (основания) и четырех боковых стенок.

Площадь основания: $S_{осн} = x^2$
Площадь боковой поверхности (четыре прямоугольника со сторонами $x$ и $h$): $S_{бок} = 4xh$
Общая площадь поверхности, которую нужно минимизировать: $S(x, h) = S_{осн} + S_{бок} = x^2 + 4xh$

Чтобы найти минимум функции $S(x, h)$, выразим одну переменную через другую, используя уравнение для объема. Удобнее выразить $h$: $h = \frac{32}{x^2}$

Подставим это выражение в формулу площади поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $x$: $S(x) = x^2 + 4x\left(\frac{32}{x^2}\right) = x^2 + \frac{128}{x}$

Для нахождения минимального значения функции $S(x)$, найдем ее производную и приравняем к нулю. $S'(x) = \left(x^2 + \frac{128}{x}\right)' = (x^2 + 128x^{-1})' = 2x - 128x^{-2} = 2x - \frac{128}{x^2}$

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(x) = 0$: $2x - \frac{128}{x^2} = 0$
$2x = \frac{128}{x^2}$
$2x^3 = 128$
$x^3 = 64$
$x = \sqrt[3]{64} = 4$

Итак, мы нашли единственную критическую точку $x = 4$ дм. Проверим, является ли она точкой минимума, с помощью второй производной: $S''(x) = \left(2x - 128x^{-2}\right)' = 2 - 128(-2)x^{-3} = 2 + \frac{256}{x^3}$

Вычислим значение второй производной в точке $x = 4$: $S''(4) = 2 + \frac{256}{4^3} = 2 + \frac{256}{64} = 2 + 4 = 6$

Поскольку $S''(4) > 0$, точка $x = 4$ является точкой минимума функции $S(x)$.

Теперь найдем соответствующую высоту $h$: $h = \frac{32}{x^2} = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2$

Таким образом, для того чтобы на изготовление бака ушло наименьшее количество материала, его размеры должны быть: сторона основания — 4 дм, высота — 2 дм.

Ответ: сторона основания 4 дм, высота 2 дм.