Номер 32.25, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.25, страница 126.

32.25 Периметр прямоугольника составляет $56\text{ см}$. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

Для решения этой задачи обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ определяется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 56 см:

$2(a + b) = 56$

Отсюда можно найти сумму длин сторон:

$a + b = \frac{56}{2} = 28$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам нужно найти такое соотношение сторон $a$ и $b$, при котором площадь $S$ будет максимальной.

Из уравнения для суммы сторон выразим одну сторону через другую, например, $b$:

$b = 28 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади $S$, зависящую от длины одной стороны $a$:

$S(a) = a \cdot (28 - a) = 28a - a^2$

Функция $S(a) = -a^2 + 28a$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y = kx^2 + lx + m$, находят по формуле $x_0 = -\frac{l}{2k}$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты: $k = -1$ и $l = 28$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{28}{2 \cdot (-1)} = -\frac{28}{-2} = 14$

Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна 14 см. Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = 28 - a = 28 - 14 = 14$

Получается, что для достижения максимальной площади при заданном периметре, прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: стороны прямоугольника равны 14 см и 14 см.