Номер 32.30, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.30, страница 127.

32.30 На графике функции $y = x^2$ найдите точку $M$, ближайшую к точке $A (0; 1,5)$.

Пусть искомая точка $M$ на графике функции $y = x^2$ имеет координаты $(x, y)$. Поскольку точка $M$ принадлежит параболе, её координаты удовлетворяют уравнению $y = x^2$. Таким образом, координаты точки $M$ можно записать как $(x, x^2)$.

Точка $A$ имеет координаты $(0; 1,5)$. Квадрат расстояния $d^2$ между точками $M(x, x^2)$ и $A(0; 1,5)$ выражается функцией от переменной $x$: $d^2(x) = (x - 0)^2 + (x^2 - 1,5)^2 = x^2 + (x^2 - 1,5)^2$.

Задача состоит в том, чтобы найти значение $x$, при котором функция $d^2(x)$ принимает минимальное значение. Обозначим эту функцию как $f(x)$ и упростим выражение: $f(x) = x^2 + (x^4 - 2 \cdot 1,5 \cdot x^2 + (1,5)^2) = x^2 + x^4 - 3x^2 + 2,25 = x^4 - 2x^2 + 2,25$.

Для нахождения точек экстремума найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 2,25)' = 4x^3 - 4x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x - 1)(x + 1) = 0$.
Критическими точками являются $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Чтобы определить характер экстремумов, найдем вторую производную: $f''(x) = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4$.

Исследуем знак второй производной в критических точках: Для $x = 0$: $f''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0$, что соответствует точке локального максимума.
Для $x = 1$: $f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0$, что соответствует точке локального минимума.
Для $x = -1$: $f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 > 0$, что также соответствует точке локального минимума.

Следовательно, наименьшее расстояние достигается в точках, где абсциссы равны $1$ и $-1$. Найдем ординаты этих точек, используя уравнение параболы $y = x^2$: Если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$. Получаем точку $(1; 1)$.
Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(-1; 1)$.

Таким образом, на параболе есть две точки, равноудаленные от точки $A$ и находящиеся на минимальном расстоянии от неё.

Ответ: $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.