Номер 32.35, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.35, страница 127.

32.35 Диагональ боковой грани правильной четырёхугольной призмы равна $d$. При какой длине бокового ребра объём призмы будет наибольшим?

Пусть сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$, а длина бокового ребра (высота) равна $h$. Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат, а боковые грани — равные прямоугольники, перпендикулярные основанию.

Боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этой грани по условию равна $d$. Согласно теореме Пифагора, для боковой грани справедливо соотношение:
$a^2 + h^2 = d^2$

Выразим из этого уравнения квадрат стороны основания $a^2$:
$a^2 = d^2 - h^2$
Поскольку $a^2$ должен быть больше нуля (так как $a$ — это длина стороны), то $d^2 - h^2 > 0$. Это накладывает ограничение на высоту $h$: $0 < h < d$.

Объём призмы $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $h$. Площадь основания (квадрата) $S_{осн} = a^2$. Следовательно, объём равен:
$V = a^2 \cdot h$

Чтобы найти объём как функцию одной переменной $h$, подставим выражение для $a^2$ в формулу объёма:
$V(h) = (d^2 - h^2)h = d^2h - h^3$

Для нахождения наибольшего значения объёма, необходимо исследовать функцию $V(h)$ на экстремум на интервале $(0, d)$. Для этого найдём её производную по $h$:
$V'(h) = \frac{d}{dh}(d^2h - h^3) = d^2 - 3h^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$d^2 - 3h^2 = 0$
$3h^2 = d^2$
$h^2 = \frac{d^2}{3}$
Поскольку $h$ — это длина, берём положительное значение корня:
$h = \sqrt{\frac{d^2}{3}} = \frac{d}{\sqrt{3}}$

Полученное значение $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$ удовлетворяет условию $0 < h < d$ (так как $\sqrt{3} > 1$) и, следовательно, является допустимой критической точкой.

Для проверки, является ли эта точка точкой максимума, найдём вторую производную:
$V''(h) = \frac{d}{dh}(d^2 - 3h^2) = -6h$
Так как $h = \frac{d}{\sqrt{3}} > 0$, вторая производная $V''(h)$ в этой точке отрицательна. Это подтверждает, что в найденной точке функция $V(h)$ имеет максимум.

Таким образом, объём призмы будет наибольшим при длине бокового ребра $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$. Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем: $h = \frac{d\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{d\sqrt{3}}{3}$