Номер 32.40, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§32. Нахождение наибольших и наименьших значений функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 32.40, страница 128.

32.40 База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идёт со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Для решения задачи по нахождению минимального времени в пути, необходимо смоделировать ситуацию и найти экстремум функции времени. Пусть прямая дорога является осью абсцисс в системе координат. Точку на дороге, ближайшую к базе, обозначим как P и поместим в начало координат (0, 0). Так как база находится в 5 км от дороги, ее координаты будут B(0, 5).

Станция S находится на дороге (на оси абсцисс) и на расстоянии 13 км от базы B. Найдем координату станции S. Рассмотрим прямоугольный треугольник BPS, где B(0, 5) — база, P(0, 0) — проекция базы на дорогу, S(x, 0) — станция. Катет BP равен 5 км, гипотенуза BS равна 13 км. По теореме Пифагора найдем катет PS:

$PS^2 + BP^2 = BS^2$

$PS^2 + 5^2 = 13^2$

$PS^2 = 169 - 25 = 144$

$PS = \sqrt{144} = 12$ км.

Таким образом, координаты станции S(12, 0). Пешеходу нужно добраться из точки B(0, 5) в точку S(12, 0).

Путь пешехода состоит из двух участков: отрезок по лесу от базы B до некоторой точки M на дороге, и отрезок по дороге от точки M до станции S. Обозначим координаты точки M как (x, 0). Чтобы путь был оптимальным, точка М должна находиться между точками P и S, то есть $0 \le x \le 12$.

Найдем общее время в пути T(x) как сумму времени движения по лесу ($t_{леc}$) и времени движения по дороге ($t_{дор}$).

1. Движение по лесу от B(0, 5) до M(x, 0).
Расстояние $d_{лес} = BM = \sqrt{(x - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{x^2 + 25}$ км.
Скорость по лесу $v_{лес} = 3$ км/ч.
Время $t_{лес} = \frac{d_{лес}}{v_{лес}} = \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{3}$ ч.

2. Движение по дороге от M(x, 0) до S(12, 0).
Расстояние $d_{дор} = MS = 12 - x$ км.
Скорость по дороге $v_{дор} = 5$ км/ч.
Время $t_{дор} = \frac{d_{дор}}{v_{дор}} = \frac{12 - x}{5}$ ч.

Общее время в пути как функция от x:

$T(x) = t_{лес} + t_{дор} = \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{3} + \frac{12 - x}{5}$

Для нахождения минимального времени найдем производную функции T(x) и приравняем ее к нулю:

$T'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{3} + \frac{12 - x}{5} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{5} = \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{5}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$\frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{5} = 0$

$\frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} = \frac{1}{5}$

$5x = 3\sqrt{x^2 + 25}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (так как $x$ должно быть неотрицательным, исходя из геометрии и уравнения):

$25x^2 = 9(x^2 + 25)$

$25x^2 = 9x^2 + 225$

$16x^2 = 225$

$x^2 = \frac{225}{16}$

$x = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = 3.75$ км.

Это значение $x$ находится в интервале [0, 12], значит, оно является точкой возможного минимума. Вторая производная $T''(x) = \frac{25}{3(x^2+25)^{3/2}}$ всегда положительна, что подтверждает, что в этой точке достигается минимум.

Теперь вычислим минимальное время, подставив найденное значение $x = \frac{15}{4}$ в функцию времени T(x):

$T(\frac{15}{4}) = \frac{\sqrt{(\frac{15}{4})^2 + 25}}{3} + \frac{12 - \frac{15}{4}}{5}$

$T(\frac{15}{4}) = \frac{\sqrt{\frac{225}{16} + 25}}{3} + \frac{\frac{48 - 15}{4}}{5} = \frac{\sqrt{\frac{225 + 400}{16}}}{3} + \frac{\frac{33}{4}}{5}$

$T(\frac{15}{4}) = \frac{\sqrt{\frac{625}{16}}}{3} + \frac{33}{20} = \frac{\frac{25}{4}}{3} + \frac{33}{20} = \frac{25}{12} + \frac{33}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$T = \frac{25 \cdot 5}{60} + \frac{33 \cdot 3}{60} = \frac{125 + 99}{60} = \frac{224}{60} = \frac{56}{15}$ часа.

Переведем это время в часы и минуты:

$\frac{56}{15}$ ч = $3 \frac{11}{15}$ ч = 3 часа и $\frac{11}{15} \cdot 60$ минут = 3 часа и 44 минуты.

Ответ: Минимальное время, за которое пешеход может добраться от базы до станции, составляет $\frac{56}{15}$ часа, или 3 часа 44 минуты.