Номер 33.7, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.7, страница 130.

33.7 a) $\sqrt[4]{\frac{16}{625}}$;

б) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$;

в) $\sqrt{\frac{100}{121}}$;

г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$.

а) Чтобы найти корень четвертой степени из дроби $\frac{16}{625}$, воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
Применяем это свойство к нашему выражению:
$\sqrt[4]{\frac{16}{625}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{625}}$
Теперь вычислим корень из числителя и знаменателя по отдельности.
Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$.
Корень четвертой степени из 625 равен 5, так как $5^4 = 625$.
Таким образом, результат равен $\frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

б) Сначала необходимо преобразовать смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь.
$3\frac{3}{8} = \frac{3 \times 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}$
Теперь задача сводится к вычислению $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$.
Используем свойство корня из частного:
$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$
Найдем кубический корень из числителя и знаменателя.
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
В результате получаем дробь $\frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

в) Для вычисления квадратного корня из дроби $\frac{100}{121}$ используем свойство корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{\frac{100}{121}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}}$
Найдем квадратный корень из числителя и знаменателя.
$\sqrt{100} = 10$, так как $10^2 = 100$.
$\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 121$.
Таким образом, результат равен $\frac{10}{11}$.
Ответ: $\frac{10}{11}$

г) Первым шагом преобразуем смешанное число $7\frac{19}{32}$ в неправильную дробь.
$7\frac{19}{32} = \frac{7 \times 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$
Теперь необходимо найти корень пятой степени из этой дроби: $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}$.
Воспользуемся свойством корня из частного:
$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$
Вычислим корень пятой степени из числителя и знаменателя.
$\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$.
$\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.
В результате получаем дробь $\frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$