Номер 33.4, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.4, страница 129.

33.4 Верно ли равенство:

а) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$;

б) $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 3$;

в) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2$;

г) $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = 3 - \sqrt{6}?$

а) Проверим равенство $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.

Для проверки преобразуем выражение в левой части, выделив под корнем полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим подкоренное выражение $7 - 4\sqrt{3}$ в нужном виде:

$7 - 4\sqrt{3} = 7 - 2 \cdot 2\sqrt{3}$.

Мы ищем числа $a$ и $b$, такие что $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$ (или $ab=2\sqrt{3}$). Подходят числа $a=2$ и $b=\sqrt{3}$, так как $2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$.

Тогда $7 - 4\sqrt{3} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$.

Следовательно, левая часть равенства равна:

$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|$.

Поскольку $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, то разность $2 - \sqrt{3}$ положительна. Значит, $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$.

Левая часть равна $2 - \sqrt{3}$, что совпадает с правой частью. Равенство верно.

Ответ: да, верно.

б) Проверим равенство $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 3$.

Определим знак левой и правой частей равенства. Левая часть, как результат извлечения арифметического квадратного корня, является неотрицательным числом: $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} \ge 0$.

Для правой части сравним числа $\sqrt{5}$ и $3$. Возведем их в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $3^2 = 9$. Поскольку $5 < 9$, то $\sqrt{5} < 3$. Это означает, что разность $\sqrt{5} - 3$ отрицательна.

Левая часть равенства неотрицательна, а правая — отрицательна. Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, следовательно, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

в) Проверим равенство $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 2$.

Определим знак левой и правой частей равенства. Левая часть, как результат извлечения арифметического квадратного корня, является неотрицательным числом: $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} \ge 0$.

Для правой части сравним числа $\sqrt{3}$ и $2$. Возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$. Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$. Это означает, что разность $\sqrt{3} - 2$ отрицательна.

Левая часть равенства неотрицательна, а правая — отрицательна. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

г) Проверим равенство $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = 3 - \sqrt{6}$.

Преобразуем выражение в левой части, выделив под корнем полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим подкоренное выражение $15 - 6\sqrt{6}$ в нужном виде:

$15 - 6\sqrt{6} = 15 - 2 \cdot 3\sqrt{6}$.

Мы ищем числа $a$ и $b$, такие что $a^2 + b^2 = 15$ и $ab=3\sqrt{6}$. Подходят числа $a=3$ и $b=\sqrt{6}$, так как $3^2 + (\sqrt{6})^2 = 9 + 6 = 15$.

Тогда $15 - 6\sqrt{6} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = (3 - \sqrt{6})^2$.

Следовательно, левая часть равенства равна:

$\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}|$.

Поскольку $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{6}$, то разность $3 - \sqrt{6}$ положительна. Значит, $|3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$.

Левая часть равна $3 - \sqrt{6}$, что совпадает с правой частью. Равенство верно.

Ответ: да, верно.