Номер 33.6, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.6, страница 130.

33.6 а) $\sqrt[3]{0,125}$;

б) $\sqrt[4]{0,0625}$;

в) $\sqrt[4]{0,0081}$;

г) $\sqrt[3]{0,027}$.

а)

Для вычисления корня $\sqrt[3]{0,125}$ необходимо найти число, которое при возведении в третью степень даст $0,125$. Проще всего это сделать, представив десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,125 = \frac{125}{1000}$

Теперь извлечем кубический корень из дроби, используя свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{\frac{125}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{1000}}$

Так как $5^3 = 125$ и $10^3 = 1000$, то $\sqrt[3]{125} = 5$ и $\sqrt[3]{1000} = 10$.

Следовательно:

$\frac{5}{10} = 0,5$

Проверка: $0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$.

Ответ: $0,5$.

б)

Для вычисления корня $\sqrt[4]{0,0625}$ найдем число, которое при возведении в четвертую степень даст $0,0625$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,0625 = \frac{625}{10000}$

Извлечем корень четвертой степени из дроби:

$\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}$

Так как $5^4 = 625$ и $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{625} = 5$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$.

Следовательно:

$\frac{5}{10} = 0,5$

Проверка: $0,5^4 = (0,5^2)^2 = 0,25^2 = 0,0625$.

Ответ: $0,5$.

в)

Для вычисления корня $\sqrt[4]{0,0081}$ найдем число, которое при возведении в четвертую степень даст $0,0081$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,0081 = \frac{81}{10000}$

Извлечем корень четвертой степени из дроби:

$\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{\frac{81}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{10000}}$

Так как $3^4 = 81$ и $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{81} = 3$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$.

Следовательно:

$\frac{3}{10} = 0,3$

Проверка: $0,3^4 = (0,3^2)^2 = 0,09^2 = 0,0081$.

Ответ: $0,3$.

г)

Для вычисления корня $\sqrt[3]{0,027}$ найдем число, которое при возведении в третью степень даст $0,027$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной.

$0,027 = \frac{27}{1000}$

Извлечем кубический корень из дроби:

$\sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{\frac{27}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}}$

Так как $3^3 = 27$ и $10^3 = 1000$, то $\sqrt[3]{27} = 3$ и $\sqrt[3]{1000} = 10$.

Следовательно:

$\frac{3}{10} = 0,3$

Проверка: $0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,3 = 0,027$.

Ответ: $0,3$.