Номер 33.10, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.10, страница 130.

33.10 Найдите отрезок $[n; n+1]$, где $n \in N$, которому принадлежит заданное число:

а) $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{19}$;

в) $\sqrt[4]{52}$;

г) $\sqrt[3]{63}$.

Чтобы найти отрезок $[n; n+1]$, где $n \in N$, которому принадлежит данное число, нужно найти такое натуральное число $n$, что выполняется двойное неравенство $n \le \text{число} < n+1$. Это равносильно нахождению целой части данного числа.

а) Для числа $\sqrt{5}$ ищем натуральное число $n$, такое что $n \le \sqrt{5} < n+1$.
Возведем это неравенство в квадрат (так как все части положительны, знак неравенства сохраняется): $n^2 \le 5 < (n+1)^2$.
Будем подбирать значения $n$ и вычислять их квадраты:
$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
Мы видим, что $4 < 5 < 9$, то есть $2^2 < 5 < 3^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем $2 < \sqrt{5} < 3$.
Это означает, что число $\sqrt{5}$ находится между 2 и 3. Следовательно, $n=2$. Искомый отрезок: $[2; 3]$.
Ответ: $[2; 3]$.

б) Для числа $\sqrt[3]{19}$ ищем натуральное число $n$, такое что $n \le \sqrt[3]{19} < n+1$.
Возведем это неравенство в куб: $n^3 \le 19 < (n+1)^3$.
Будем подбирать значения $n$ и вычислять их кубы:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
Мы видим, что $8 < 19 < 27$, то есть $2^3 < 19 < 3^3$.
Извлекая кубический корень, получаем $2 < \sqrt[3]{19} < 3$.
Это означает, что число $\sqrt[3]{19}$ находится между 2 и 3. Следовательно, $n=2$. Искомый отрезок: $[2; 3]$.
Ответ: $[2; 3]$.

в) Для числа $\sqrt[4]{52}$ ищем натуральное число $n$, такое что $n \le \sqrt[4]{52} < n+1$.
Возведем это неравенство в четвертую степень: $n^4 \le 52 < (n+1)^4$.
Будем подбирать значения $n$ и вычислять их четвертые степени:
$1^4 = 1$
$2^4 = 16$
$3^4 = 81$
Мы видим, что $16 < 52 < 81$, то есть $2^4 < 52 < 3^4$.
Извлекая корень четвертой степени, получаем $2 < \sqrt[4]{52} < 3$.
Это означает, что число $\sqrt[4]{52}$ находится между 2 и 3. Следовательно, $n=2$. Искомый отрезок: $[2; 3]$.
Ответ: $[2; 3]$.

г) Для числа $\sqrt[3]{63}$ ищем натуральное число $n$, такое что $n \le \sqrt[3]{63} < n+1$.
Возведем это неравенство в куб: $n^3 \le 63 < (n+1)^3$.
Будем подбирать значения $n$ и вычислять их кубы:
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
Мы видим, что $27 < 63 < 64$, то есть $3^3 < 63 < 4^3$.
Извлекая кубический корень, получаем $3 < \sqrt[3]{63} < 4$.
Это означает, что число $\sqrt[3]{63}$ находится между 3 и 4. Следовательно, $n=3$. Искомый отрезок: $[3; 4]$.
Ответ: $[3; 4]$.