Номер 33.14, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.14, страница 130.

33.14 a) $ \sqrt[3]{x-5} = -3; $

Б) $ \sqrt[4]{4-5x} = -2; $

В) $ \sqrt[5]{2x+8} = -1; $

Г) $ \sqrt[3]{7-4x} = 4. $

а) $\sqrt[3]{x-5} = -3$

Чтобы решить данное иррациональное уравнение, необходимо избавиться от знака корня. Так как корень нечетной степени (кубический), можно возвести обе части уравнения в эту степень. Это преобразование является равносильным.

Возводим обе части в третью степень:

$(\sqrt[3]{x-5})^3 = (-3)^3$

$x-5 = -27$

Теперь решаем полученное линейное уравнение. Переносим $-5$ в правую часть с противоположным знаком:

$x = -27 + 5$

$x = -22$

Ответ: $x = -22$

б) $\sqrt[4]{4-5x} = -2$

В данном уравнении в левой части находится арифметический корень четной степени (четвертой). По определению, значение арифметического корня четной степени всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[4]{4-5x} \ge 0$ для любых допустимых значений $x$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число $-2$.

Равенство, в котором неотрицательное значение приравнивается к отрицательному, невозможно. Следовательно, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: нет корней.

в) $\sqrt[5]{2x+8} = -1$

Это уравнение с корнем нечетной степени (пятой). Для его решения возведем обе части в пятую степень.

$(\sqrt[5]{2x+8})^5 = (-1)^5$

$2x+8 = -1$

Решаем полученное линейное уравнение. Переносим $8$ в правую часть:

$2x = -1 - 8$

$2x = -9$

Делим обе части на $2$, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{9}{2}$

$x = -4.5$

Ответ: $x = -4.5$

г) $\sqrt[3]{7-4x} = 4$

Для решения этого уравнения с кубическим корнем (нечетная степень) возводим обе части в третью степень.

$(\sqrt[3]{7-4x})^3 = 4^3$

$7-4x = 64$

Решаем линейное уравнение. Переносим $7$ в правую часть:

$-4x = 64 - 7$

$-4x = 57$

Делим обе части на $-4$:

$x = -\frac{57}{4}$

$x = -14.25$

Ответ: $x = -14.25$