Номер 34.2, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.2, страница 131.

34.2 a) $y = 2\sqrt[3]{x}$;

б) $y = -\frac{1}{3}\sqrt[6]{x}$;

В) $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$;

Г) $y = 3\sqrt[4]{x}$.

а)

Дана функция $y = 2\sqrt[3]{x}$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Для нахождения производной представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$.

Тогда функция примет вид: $y = 2x^{\frac{1}{3}}$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования функции с константой $(cf(x))' = c f'(x)$.

Находим производную $y'$, которая определена для всех $x \neq 0$:

$y' = (2x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot (x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{\frac{1-3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Представим результат снова в виде корня:

$y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

б)

Дана функция $y = -\frac{1}{3}\sqrt[6]{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$, так как корень четной степени.

Представим корень в виде степени: $\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$.

Функция примет вид: $y = -\frac{1}{3}x^{\frac{1}{6}}$.

Находим производную. Производная определена для $x > 0$.

$y' = (-\frac{1}{3}x^{\frac{1}{6}})' = -\frac{1}{3} \cdot (x^{\frac{1}{6}})' = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} = -\frac{1}{18}x^{\frac{1-6}{6}} = -\frac{1}{18}x^{-\frac{5}{6}}$.

Представим результат в виде корня:

$y' = -\frac{1}{18}x^{-\frac{5}{6}} = -\frac{1}{18x^{\frac{5}{6}}} = -\frac{1}{18\sqrt[6]{x^5}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{18\sqrt[6]{x^5}}$.

в)

Дана функция $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как корень нечетной степени.

Представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$.

Функция примет вид: $y = -\frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}$.

Находим производную (определена для $x \neq 0$):

$y' = (-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{2} \cdot (x^{\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{6}x^{\frac{1-3}{3}} = -\frac{1}{6}x^{-\frac{2}{3}}$.

Представим результат в виде корня:

$y' = -\frac{1}{6}x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{6x^{\frac{2}{3}}} = -\frac{1}{6\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{6\sqrt[3]{x^2}}$.

г)

Дана функция $y = 3\sqrt[4]{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$, так как корень четной степени.

Представим корень в виде степени: $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$.

Функция примет вид: $y = 3x^{\frac{1}{4}}$.

Находим производную (определена для $x > 0$):

$y' = (3x^{\frac{1}{4}})' = 3 \cdot (x^{\frac{1}{4}})' = 3 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{\frac{1-4}{4}} = \frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.

Представим результат в виде корня:

$y' = \frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{3}{4x^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$.