Номер 34.1, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. §34. Функции у = n√х, их свойства и графики - номер 34.1, страница 131.

Условие.

Постройте график функции:

34.1 а) $y = \sqrt[3]{x}$;

б) $y = \sqrt[6]{x}$;

в) $y = \sqrt[4]{x}$;

г) $y = \sqrt[5]{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $y = \sqrt[3]{x}$

Это степенная функция вида $y = x^{1/n}$ с нечетным показателем корня $n=3$.

Проанализируем свойства функции для построения графика:
1. Область определения: корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: значения функции также могут быть любыми действительными числами, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.
4. Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

Найдем несколько контрольных точек для построения. Удобно выбирать $x$ как кубы целых чисел:
Если $x = -8$, то $y = \sqrt[3]{-8} = -2$. Точка (-8; -2).
Если $x = -1$, то $y = \sqrt[3]{-1} = -1$. Точка (-1; -1).
Если $x = 0$, то $y = \sqrt[3]{0} = 0$. Точка (0; 0).
Если $x = 1$, то $y = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка (1; 1).
Если $x = 8$, то $y = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка (8; 2).

Соединив эти точки плавной линией, получим график. Он расположен в I и III координатных четвертях. График похож на график кубической параболы $y = x^3$, но отраженный относительно прямой $y=x$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кривая линия, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-8; -2), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (8; 2) и монотонно возрастающая на всей числовой оси.

б) $y = \sqrt[6]{x}$

Это степенная функция вида $y = x^{1/n}$ с четным показателем корня $n=6$.

Проанализируем свойства функции:
1. Область определения: корень четной степени определен только для неотрицательных чисел, поэтому $D(y) = [0; +\infty)$.
2. Область значений: значение корня четной степени также неотрицательно, $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность: так как область определения несимметрична относительно нуля, функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

Найдем несколько контрольных точек:
Если $x = 0$, то $y = \sqrt[6]{0} = 0$. Точка (0; 0).
Если $x = 1$, то $y = \sqrt[6]{1} = 1$. Точка (1; 1).
Если $x = 64$, то $y = \sqrt[6]{64} = 2$. Точка (64; 2).

График функции представляет собой ветвь, расположенную в I координатной четверти. Он начинается в точке (0; 0) и плавно возрастает. Рост функции замедляется при увеличении $x$. График является верхней половиной графика функции $x = y^6$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[6]{x}$ — это ветвь кривой, выходящая из начала координат, расположенная в первой координатной четверти и проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (64; 2).

в) $y = \sqrt[4]{x}$

Это степенная функция вида $y = x^{1/n}$ с четным показателем корня $n=4$. Как и в предыдущем случае, показатель четный.

Свойства функции аналогичны свойствам $y=\sqrt[6]{x}$:
1. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
4. Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

Найдем несколько контрольных точек:
Если $x = 0$, то $y = \sqrt[4]{0} = 0$. Точка (0; 0).
Если $x = 1$, то $y = \sqrt[4]{1} = 1$. Точка (1; 1).
Если $x = 16$, то $y = \sqrt[4]{16} = 2$. Точка (16; 2).

График функции — это ветвь в I координатной четверти, выходящая из начала координат. При сравнении с графиком $y=\sqrt[6]{x}$ можно заметить, что при $x > 1$ график $y=\sqrt[4]{x}$ лежит выше, а при $0 < x < 1$ — ниже.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x}$ — это ветвь кривой, выходящая из начала координат, расположенная в первой координатной четверти и проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (16; 2).

г) $y = \sqrt[5]{x}$

Это степенная функция вида $y = x^{1/n}$ с нечетным показателем корня $n=5$.

Свойства функции аналогичны свойствам $y=\sqrt[3]{x}$:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Четность: функция нечетная, $y(-x) = \sqrt[5]{-x} = -\sqrt[5]{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
4. Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

Найдем несколько контрольных точек:
Если $x = -32$, то $y = \sqrt[5]{-32} = -2$. Точка (-32; -2).
Если $x = -1$, то $y = \sqrt[5]{-1} = -1$. Точка (-1; -1).
Если $x = 0$, то $y = \sqrt[5]{0} = 0$. Точка (0; 0).
Если $x = 1$, то $y = \sqrt[5]{1} = 1$. Точка (1; 1).
Если $x = 32$, то $y = \sqrt[5]{32} = 2$. Точка (32; 2).

График функции — это кривая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III четвертях. При сравнении с графиком $y=\sqrt[3]{x}$ можно заметить, что при $x > 1$ график $y=\sqrt[5]{x}$ лежит ниже, а при $0 < x < 1$ — выше.

Ответ: График функции $y = \sqrt[5]{x}$ — это кривая линия, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-32; -2), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (32; 2) и монотонно возрастающая на всей числовой оси.