Номер 34.3, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.3, страница 131.

34.3 a) $y = \sqrt[4]{x+1}$;

б) $y = \sqrt[5]{x-2}$;

В) $y = \sqrt[7]{x+3}$;

Г) $y = \sqrt[6]{x-4}$.

а) Областью определения функции вида $y = \sqrt[n]{f(x)}$, где $n$ — четное натуральное число, является множество всех значений $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно, то есть $f(x) \ge 0$.

Для функции $y = \sqrt[4]{x + 1}$ показатель корня $n=4$ является четным. Поэтому ее область определения задается неравенством:

$x + 1 \ge 0$

Решая это неравенство, получаем:

$x \ge -1$

Это можно записать в виде числового промежутка: $[-1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [-1; +\infty)$.

б) Областью определения функции вида $y = \sqrt[n]{f(x)}$, где $n$ — нечетное натуральное число ($n > 1$), является множество всех значений $x$, для которых определено подкоренное выражение $f(x)$.

Для функции $y = \sqrt[5]{x - 2}$ показатель корня $n=5$ является нечетным. Подкоренное выражение $x-2$ определено для любых действительных значений $x$.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Для функции $y = \sqrt[7]{x + 3}$ показатель корня $n=7$ является нечетным. Как и в предыдущем случае, корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Подкоренное выражение $x+3$ определено для всех действительных чисел $x$.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) Для функции $y = \sqrt[6]{x - 4}$ показатель корня $n=6$ является четным. Следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$x - 4 \ge 0$

Решая это неравенство, получаем:

$x \ge 4$

Это можно записать в виде числового промежутка: $[4; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [4; +\infty)$.