Номер 34.10, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.10, страница 132.

Определите число решений системы уравнений:

34.10 а) $ \begin{cases} y = \sqrt[4]{x}, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y = \sqrt[3]{x}, \\ 3y - 4x = 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y = \sqrt[5]{x}, \\ 6 - 2x - 3y = 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y = \sqrt[6]{x}, \\ 5 + x - 2y = 0. \end{cases} $

Для определения числа решений системы уравнений удобно использовать графический метод. Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Во всех случаях второе уравнение является линейным, его график — прямая. Первое уравнение — степенная функция с дробным показателем, график которой — кривая.

а) $ \begin{cases} y = \sqrt[4]{x} \\ 2x - 3y = 6 \end{cases} $

Первое уравнение $y = \sqrt[4]{x}$ — это функция, определённая при $x \ge 0$, и её значения также неотрицательны, $y \ge 0$. График этой функции — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти, выходящая из начала координат.

Второе уравнение $2x - 3y = 6$ — это линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$, чтобы построить график: $3y = 2x - 6 \implies y = \frac{2}{3}x - 2$. Это прямая с угловым коэффициентом $k = 2/3$ и пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, -2)$, а ось $Ox$ в точке $(3, 0)$.

Для нахождения числа решений подставим $x=y^4$ из первого уравнения во второе (учитывая, что $y \ge 0$): $2y^4 - 3y = 6$ $2y^4 - 3y - 6 = 0$

Рассмотрим функцию $f(y) = 2y^4 - 3y - 6$ для $y \ge 0$. $f(0) = -6$. $f(1) = 2 - 3 - 6 = -7$. $f(2) = 2 \cdot 2^4 - 3 \cdot 2 - 6 = 32 - 6 - 6 = 20$. Так как функция $f(y)$ непрерывна, и на отрезке $[1, 2]$ она меняет знак с отрицательного на положительный, то на этом интервале существует как минимум один корень.

Чтобы определить точное количество корней, исследуем производную: $f'(y) = 8y^3 - 3$. Найдём точку, в которой производная равна нулю: $8y^3 - 3 = 0 \implies y^3 = 3/8 \implies y = \sqrt[3]{3/8}$. При $y > \sqrt[3]{3/8}$ производная $f'(y) > 0$, следовательно, функция $f(y)$ возрастает. При $0 \le y < \sqrt[3]{3/8}$ производная $f'(y) < 0$, следовательно, функция $f(y)$ убывает. Таким образом, функция сначала убывает от $f(0) = -6$ до своего минимального значения (которое также отрицательно), а затем монотонно возрастает. Так как $f(2)=20>0$, то график функции $f(y)$ пересекает ось абсцисс ровно один раз при $y>0$. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

б) $ \begin{cases} y = \sqrt[3]{x} \\ 3y - 4x = 0 \end{cases} $

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел. Второе уравнение $3y - 4x = 0$ можно переписать как $y = \frac{4}{3}x$. Это прямая, проходящая через начало координат.

Поскольку оба графика проходят через точку $(0, 0)$, это уже одно решение. Для поиска других решений подставим $y = \sqrt[3]{x}$ во второе уравнение: $3\sqrt[3]{x} - 4x = 0$

Вынесем $\sqrt[3]{x}$ за скобки: $\sqrt[3]{x}(3 - 4x^{2/3}) = 0$

Это уравнение распадается на два: 1) $\sqrt[3]{x} = 0 \implies x = 0$. Соответствующее значение $y=0$. Решение: $(0, 0)$. 2) $3 - 4x^{2/3} = 0 \implies 4x^{2/3} = 3 \implies x^{2/3} = \frac{3}{4}$. Возведём обе части в степень $3/2$: $(x^{2/3})^{3/2} = (\frac{3}{4})^{3/2}$ $|x| = \frac{3^{3/2}}{4^{3/2}} = \frac{(\sqrt{3})^3}{(\sqrt{4})^3} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$. Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ и $x_2 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$.

Для каждого значения $x$ найдём соответствующий $y$: При $x_1 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$, $y_1 = \sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. При $x_2 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$, $y_2 = \sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}}{8}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Всего получается три различных решения.

Ответ: 3.

в) $ \begin{cases} y = \sqrt[5]{x} \\ 6 - 2x - 3y = 0 \end{cases} $

Функция $y = \sqrt[5]{x}$ определена и является строго возрастающей на всей числовой оси. Второе уравнение $6 - 2x - 3y = 0$ преобразуем к виду $3y = -2x + 6 \implies y = -\frac{2}{3}x + 2$. Это линейная функция, график которой — прямая. Её угловой коэффициент $k = -2/3 < 0$, значит, функция является строго убывающей.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Чтобы убедиться, что пересечение существует, рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[5]{x} - (-\frac{2}{3}x + 2) = \sqrt[5]{x} + \frac{2}{3}x - 2$. $f(1) = \sqrt[5]{1} + \frac{2}{3}(1) - 2 = 1 + \frac{2}{3} - 2 = -\frac{1}{3} < 0$. $f(32) = \sqrt[5]{32} + \frac{2}{3}(32) - 2 = 2 + \frac{64}{3} - 2 = \frac{64}{3} > 0$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна и принимает значения разных знаков, она имеет по крайней мере один корень. Так как она является суммой двух возрастающих функций и константы, она строго возрастает, а значит, корень единственный. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

г) $ \begin{cases} y = \sqrt[6]{x} \\ 5 + x - 2y = 0 \end{cases} $

Функция $y = \sqrt[6]{x}$ определена при $x \ge 0$, её значения $y \ge 0$. Второе уравнение $5 + x - 2y = 0$ преобразуем к виду $2y = x + 5 \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.

Сравним значения функций в точке $x=0$: Для кривой: $y = \sqrt[6]{0} = 0$. Для прямой: $y = \frac{1}{2}(0) + \frac{5}{2} = 2.5$. В точке $x=0$ прямая находится выше кривой.

Обе функции возрастают при $x > 0$. Однако линейная функция $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ растет быстрее, чем степенная функция $y = x^{1/6}$. Это означает, что прямая, начав "выше" кривой, всегда будет оставаться выше нее. Таким образом, графики не пересекаются.

Проверим это аналитически. Подставим $x=y^6$ во второе уравнение (учитывая, что $y \ge 0$): $5 + y^6 - 2y = 0$. Рассмотрим функцию $f(y) = y^6 - 2y + 5$ при $y \ge 0$. Найдём её наименьшее значение. Производная $f'(y) = 6y^5 - 2$. $f'(y) = 0 \implies 6y^5 = 2 \implies y^5 = 1/3 \implies y = \sqrt[5]{1/3}$. Это точка минимума. Значение функции в этой точке: $f(\sqrt[5]{1/3}) = (\sqrt[5]{1/3})^6 - 2(\sqrt[5]{1/3}) + 5 = (1/3)^{6/5} - 2(1/3)^{1/5} + 5 = \frac{1}{3}(1/3)^{1/5} - 2(1/3)^{1/5} + 5 = 5 - \frac{5}{3}(1/3)^{1/5}$. Так как $3^{1/5} > 1$, то $(1/3)^{1/5} < 1$. Тогда $\frac{5}{3}(1/3)^{1/5} < \frac{5}{3} < 5$. Следовательно, минимальное значение $f(y)$ положительно. Это значит, что $f(y)$ никогда не равно нулю. Решений нет.

Ответ: 0.