Номер 34.14, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.14, страница 133.

34.14 $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Проанализируем заданную кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Область определения

Функция определена для всех значений $x$. При $x < 0$ выражение $\frac{3}{x}$ определено, так как знаменатель не равен нулю. При $x \ge 0$ выражение $\sqrt[3]{x}$ определено для всех неотрицательных чисел. Таким образом, область определения функции - все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Проверим выполнение условий четности/нечетности: $y(-x) = y(x)$ или $y(-x) = -y(x)$. Возьмем $x=1$. Тогда $-x=-1$. $y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$. $y(-1) = \frac{3}{-1} = -3$. Сравниваем: $y(-1) = -3 \neq y(1) = 1$ (условие четности не выполнено) и $y(-1) = -3 \neq -y(1) = -1$ (условие нечетности не выполнено). Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

3. Непрерывность и точки разрыва

Функция состоит из двух элементарных функций, непрерывных на своих интервалах определения. На интервале $(-\infty, 0)$ функция $y = \frac{3}{x}$ непрерывна. Функция $y = \sqrt[3]{x}$ непрерывна на $[0, +\infty)$. Исследуем точку $x=0$, где меняется аналитическое выражение функции. Найдем односторонние пределы в точке $x=0$: Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} y = \lim_{x \to 0^-} \frac{3}{x} = -\infty$. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{0} = 0$. Значение функции в точке $x=0$: $y(0) = \sqrt[3]{0} = 0$. Поскольку левосторонний предел равен бесконечности, а правосторонний предел конечен, в точке $x=0$ функция терпит разрыв II рода. Так как $\lim_{x \to 0^+} y = y(0)$, функция непрерывна в точке $x=0$ справа.

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty, 0) \cup [0, +\infty)$. В точке $x=0$ имеется разрыв II рода.

4. Асимптоты графика функции

Вертикальная асимптота: как было показано при исследовании на непрерывность, $\lim_{x \to 0^-} y = -\infty$. Следовательно, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой (при $x \to 0^-$). Горизонтальные асимптоты: найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$. $\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x} = 0$. Следовательно, прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x} = +\infty$. Горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет. Наклонные асимптоты вида $y=kx+b$ при $x \to +\infty$: $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^{2/3}} = 0$. $b = \lim_{x \to +\infty} (y - kx) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{x} - 0 \cdot x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x} = +\infty$. Так как $b$ не является конечным числом, наклонной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to -\infty$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы

Найдем производную функции на каждом из интервалов. При $x < 0$: $y' = (\frac{3}{x})' = (3x^{-1})' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ для всех $x < 0$, то $y' < 0$. Следовательно, функция строго убывает на интервале $(-\infty, 0)$. При $x > 0$: $y' = (\sqrt[3]{x})' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. Так как $\sqrt[3]{x^2} > 0$ для всех $x > 0$, то $y' > 0$. Следовательно, функция строго возрастает на интервале $(0, +\infty)$. Производная нигде не обращается в ноль. Точка $x=0$ является критической, так как в ней функция имеет разрыв. Поскольку слева от точки $x=0$ функция убывает, а справа возрастает, но в самой точке разрыв, то классических точек экстремума у функции нет. В точке $x=0$ значение функции $y(0)=0$, но это не локальный минимум, так как для любого $x<0$ значение $y(x) < 0$.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции. При $x < 0$: $y'' = (-\frac{3}{x^2})' = (-3x^{-2})' = 6x^{-3} = \frac{6}{x^3}$. Так как при $x<0$ $x^3 < 0$, то $y'' < 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty, 0)$ график функции выпуклый вверх (вогнутый). При $x > 0$: $y'' = (\frac{1}{3}x^{-2/3})' = \frac{1}{3}(-\frac{2}{3})x^{-5/3} = -\frac{2}{9}x^{-5/3} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$. Так как при $x>0$ $\sqrt[3]{x^5} > 0$, то $y'' < 0$. Следовательно, на интервале $(0, +\infty)$ график функции также выпуклый вверх (вогнутый). Вторая производная нигде не равна нулю, и знак ее не меняется на интервалах определения, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: График функции выпуклый вверх (вогнутый) на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Точек перегиба нет.

7. Область значений

При $x < 0$ функция $y = \frac{3}{x}$ принимает все значения из интервала $(-\infty, 0)$. При $x \ge 0$ функция $y = \sqrt[3]{x}$ принимает все значения из промежутка $[0, +\infty)$. Объединяя эти два множества, получаем, что область значений функции - это все действительные числа.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

8. Построение графика

Основываясь на проведенном анализе, можно описать график функции. 1. График состоит из двух частей, разделенных в точке $x=0$. 2. При $x < 0$ это ветвь гиперболы $y = \frac{3}{x}$, расположенная в III координатной четверти. График выпуклый вверх, имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$ и вертикальную асимптоту $x=0$ (ветвь уходит к $-\infty$). Контрольные точки: $(-3, -1)$, $(-1, -3)$. 3. При $x \ge 0$ это график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Он начинается в точке $(0,0)$ (точка закрашена), монотонно возрастает и является выпуклым вверх. Контрольные точки: $(1,1)$, $(8,2)$. 4. Функция является убывающей на $(-\infty, 0)$ и возрастающей на $(0, +\infty)$, не имеет экстремумов и точек перегиба. 5. В точке $x=0$ наблюдается разрыв II рода.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей: ветви гиперболы $y=3/x$ в третьей четверти для $x<0$ и графика кубического корня $y=\sqrt[3]{x}$ для $x \ge 0$, который начинается в точке $(0,0)$.