Номер 34.20, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.20, страница 133.

34.20 а) $y = \sqrt[4]{\frac{x-8}{3x+5}}$

б) $y = \sqrt[5]{\frac{1+9x}{4+3x}}$

В) $y = \sqrt[3]{\frac{12-5x}{7-2x}}$

Г) $y = \sqrt[6]{\frac{3-7x}{2x+9}}$

а)

Дана функция $y = \sqrt[4]{\frac{x-8}{3x+5}}$.

Поскольку корень имеет четную степень (4), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Эти два условия можно объединить в одно неравенство:

$\frac{x-8}{3x+5} \ge 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов.

1. Находим нули числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка является решением и будет включена в интервал.

2. Находим нули знаменателя: $3x + 5 = 0 \implies 3x = -5 \implies x = -\frac{5}{3}$. Эта точка не является решением, так как на ноль делить нельзя, и будет исключена из интервала.

3. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знак выражения в каждом из полученных интервалов.

Для интервала $(-\infty; -\frac{5}{3})$ возьмем пробную точку $x = -2$. Получим $\frac{-2-8}{3(-2)+5} = \frac{-10}{-1} = 10$, что больше нуля. Этот интервал подходит.

Для интервала $(-\frac{5}{3}; 8)$ возьмем пробную точку $x = 0$. Получим $\frac{0-8}{3(0)+5} = -\frac{8}{5}$, что меньше нуля. Этот интервал не подходит.

Для интервала $[8; +\infty)$ возьмем пробную точку $x = 9$. Получим $\frac{9-8}{3(9)+5} = \frac{1}{32}$, что больше нуля. Этот интервал подходит.

Область определения функции — это объединение интервалов, в которых выражение неотрицательно.

Ответ: $(-\infty; -\frac{5}{3}) \cup [8; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \sqrt[5]{\frac{1+9x}{4+3x}}$.

Поскольку корень имеет нечетную степень (5), подкоренное выражение может принимать любые действительные значения. Единственное ограничение для области определения этой функции — знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$4 + 3x = 0$

$3x = -4$

$x = -\frac{4}{3}$

Это значение $x$ необходимо исключить из области определения.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; +\infty)$.

в)

Дана функция $y = \sqrt[3]{\frac{12-5x}{7-2x}}$.

Поскольку корень имеет нечетную степень (3), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Следовательно, единственное ограничение накладывается на знаменатель дроби, который не должен быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$7 - 2x = 0$

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2}$

Это значение $x$ должно быть исключено из области определения функции.

Таким образом, область определения — это множество всех действительных чисел, за исключением $x = \frac{7}{2}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}; +\infty)$.

г)

Дана функция $y = \sqrt[6]{\frac{3-7x}{2x+9}}$.

Корень имеет четную степень (6), поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным. Также знаменатель дроби не должен равняться нулю. Объединяем эти условия в одно неравенство:

$\frac{3-7x}{2x+9} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов.

1. Находим корень числителя: $3 - 7x = 0 \implies 7x = 3 \implies x = \frac{3}{7}$. Эта точка включается в решение.

2. Находим корень знаменателя: $2x + 9 = 0 \implies 2x = -9 \implies x = -\frac{9}{2}$. Эта точка исключается из решения.

3. Отмечаем точки $-\frac{9}{2}$ и $\frac{3}{7}$ на числовой оси и определяем знаки дроби в интервалах.

Для интервала $(-\infty; -\frac{9}{2})$ возьмем $x = -5$. Получим $\frac{3-7(-5)}{2(-5)+9} = \frac{3+35}{-10+9} = \frac{38}{-1} < 0$. Интервал не подходит.

Для интервала $(-\frac{9}{2}; \frac{3}{7}]$ возьмем $x = 0$. Получим $\frac{3-7(0)}{2(0)+9} = \frac{3}{9} > 0$. Интервал подходит.

Для интервала $[\frac{3}{7}; +\infty)$ возьмем $x = 1$. Получим $\frac{3-7(1)}{2(1)+9} = \frac{-4}{11} < 0$. Интервал не подходит.

Таким образом, решением неравенства является интервал, где выражение неотрицательно.

Ответ: $(-\frac{9}{2}; \frac{3}{7}]$.