Номер 34.22, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.22, страница 134.

Найдите область значений функции:

34.22 a) $y = \sqrt[4]{x} + 1$;

б) $y = \sqrt[5]{x} - 2$;

в) $y = \sqrt[7]{x} + 3$;

г) $y = \sqrt[6]{x} - 4$.

а) Чтобы найти область значений функции $y = \sqrt[4]{x} + 1$, проанализируем ее составляющие. Выражение $\sqrt[4]{x}$ представляет собой арифметический корень четной степени. По определению, значение такого корня всегда неотрицательно, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Область определения данной функции — $x \ge 0$. Так как наименьшее значение $\sqrt[4]{x}$ равно 0 (при $x=0$), то наименьшее значение всей функции будет $y = 0 + 1 = 1$. При увеличении $x$ значение $\sqrt[4]{x}$ будет неограниченно возрастать, а значит и значение $y$ тоже. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 1.
Ответ: $E(y) = [1, +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[5]{x} - 2$. Эта функция содержит корень нечетной степени. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа $x$, и его значение также может быть любым действительным числом. Область значений функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Наша функция $y$ получается из $f(x)$ вычитанием константы 2, что соответствует сдвигу графика вдоль оси $y$ на 2 единицы вниз. Такой сдвиг не меняет множества значений, оно по-прежнему охватывает все действительные числа.
Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

в) Функция $y = \sqrt[7]{x + 3}$ содержит корень нечетной степени. Выражение под корнем $x+3$ может принимать любое действительное значение, так как область определения $x$ — все действительные числа. Поскольку корень нечетной степени из любого действительного числа существует и может быть любым действительным числом, то и область значений функции $y$ — это множество всех действительных чисел. Горизонтальный сдвиг графика на 3 единицы влево не влияет на область значений.
Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[6]{x} - 4$. По аналогии с пунктом а), здесь присутствует корень четной степени. Значение арифметического корня $\sqrt[6]{x}$ всегда неотрицательно: $\sqrt[6]{x} \ge 0$. Область определения функции — $x \ge 0$. Чтобы найти область значений всей функции, вычтем 4 из обеих частей неравенства: $\sqrt[6]{x} - 4 \ge 0 - 4$, что дает $y \ge -4$. Наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно $y = 0 - 4 = -4$. При увеличении $x$ значение $y$ неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные -4.
Ответ: $E(y) = [-4, +\infty)$.