Номер 34.25, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.25, страница 134.

Постройте график функции:

34.25 a) $y = \sqrt[3]{\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}}$;б) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}}$.

а)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}}$.

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Кубический корень определён для любого действительного числа, поэтому единственное ограничение накладывается знаменателем дроби под корнем: он не должен быть равен нулю.

$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Упростим выражение под корнем. Разложим числитель $x^2 - 5x + 4$ на множители. Найдём корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Значит, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.

Подставим это в исходную функцию:

$y = \sqrt[3]{\frac{(x - 1)(x - 4)}{x - 4}}$

3. Поскольку $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(x-4)$:

$y = \sqrt[3]{x-1}$

4. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sqrt[3]{x-1}$ во всех точках, кроме точки $x=4$. В этой точке исходная функция не определена, следовательно, на её графике будет "выколотая" точка.

Найдём координаты этой выколотой точки. Абсцисса равна 4. Ординату найдём, подставив $x=4$ в упрощённую функцию:

$y = \sqrt[3]{4-1} = \sqrt[3]{3}$.

Координаты выколотой точки: $(4; \sqrt[3]{3})$.

5. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x-1}$. Это график функции $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутый на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Основные характеристики графика $y = \sqrt[3]{x-1}$:

• Пересечение с осью Ox (y=0): $\sqrt[3]{x-1} = 0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$. Точка $(1,0)$.
• Пересечение с осью Oy (x=0): $y = \sqrt[3]{0-1} = -1$. Точка $(0,-1)$.
• График проходит через точку $(2,1)$, так как $y(2) = \sqrt[3]{2-1}=1$.
• График проходит через точку $(9,2)$, так как $y(9) = \sqrt[3]{9-1}=2$.

График исходной функции — это кривая $y=\sqrt[3]{x-1}$ с выколотой точкой $(4; \sqrt[3]{3})$.

Ответ: График функции представляет собой график функции $y = \sqrt[3]{x-1}$ (кубическая парабола, сдвинутая на 1 вправо) с выколотой точкой $(4; \sqrt[3]{3})$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}}$.

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Поскольку корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Получаем систему условий:

$\begin{cases} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} \geq 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$

2. Решим неравенство. Разложим числитель $x^2 - x - 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Значит, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x-3)(x+2)}{x-3} \geq 0$

Так как $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$:

$x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$.

Объединяя условия $x \geq -2$ и $x \neq 3$, получаем область определения: $D(y) = [-2; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Упростим выражение для функции на её области определения:

$y = \sqrt[4]{\frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3}} = \sqrt[4]{x+2}$

4. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sqrt[4]{x+2}$ на всей её области определения $D(y)$. На графике будет выколотая точка при $x=3$.

Найдём координаты этой выколотой точки. Абсцисса равна 3. Ординату найдём, подставив $x=3$ в упрощённую функцию:

$y = \sqrt[4]{3+2} = \sqrt[4]{5}$.

Координаты выколотой точки: $(3; \sqrt[4]{5})$.

5. Построим график функции $y = \sqrt[4]{x+2}$. Это график функции $y = \sqrt[4]{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

Основные характеристики графика $y = \sqrt[4]{x+2}$:

• Область определения этой функции $x \geq -2$. Наш график определён на $x \in [-2; 3) \cup (3; +\infty)$.
• График начинается в точке $(-2,0)$. Это точка пересечения с осью Ox.
• Пересечение с осью Oy (x=0): $y = \sqrt[4]{0+2} = \sqrt[4]{2}$. Точка $(0, \sqrt[4]{2})$.
• График проходит через точку $(-1,1)$, так как $y(-1) = \sqrt[4]{-1+2}=1$.
• График является ветвью параболы, "лежащей на боку".

График исходной функции — это кривая $y=\sqrt[4]{x+2}$ для $x \geq -2$ с выколотой точкой $(3; \sqrt[4]{5})$.

Ответ: График функции представляет собой график функции $y = \sqrt[4]{x+2}$ (ветвь параболы, выходящая из точки $(-2,0)$ и идущая вправо-вверх) с выколотой точкой $(3; \sqrt[4]{5})$.