Номер 35.6, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.6, страница 135.

35.6 a) $\sqrt[4]{\frac{7^8}{3^4}}$;

б) $\sqrt[3]{\frac{5^6}{3^9}}$;

в) $\sqrt[4]{\frac{3^{12}}{2^8}}$;

г) $\sqrt[5]{\frac{5^5}{13^{10}}}$.

а)

Чтобы упростить данное выражение, воспользуемся свойствами корней. Свойство корня из дроби гласит, что корень n-ой степени из дроби равен дроби, числитель и знаменатель которой являются корнями n-ой степени из исходных числителя и знаменателя: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[4]{\frac{7^8}{3^4}} = \frac{\sqrt[4]{7^8}}{\sqrt[4]{3^4}}$

Далее используем свойство извлечения корня из степени, которое можно представить в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\frac{\sqrt[4]{7^8}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{7^{\frac{8}{4}}}{3^{\frac{4}{4}}} = \frac{7^2}{3^1} = \frac{49}{3}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $16\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{49}{3}$

б)

Упростим выражение $\sqrt[3]{\frac{5^6}{3^9}}$, используя аналогичные свойства корней.

Разделим корень на числитель и знаменатель:

$\sqrt[3]{\frac{5^6}{3^9}} = \frac{\sqrt[3]{5^6}}{\sqrt[3]{3^9}}$

Теперь преобразуем каждый корень в степень с дробным показателем:

$\frac{\sqrt[3]{5^6}}{\sqrt[3]{3^9}} = \frac{5^{\frac{6}{3}}}{3^{\frac{9}{3}}} = \frac{5^2}{3^3} = \frac{25}{27}$

Ответ: $\frac{25}{27}$

в)

Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{3^{12}}{2^8}}$.

Применяем свойство корня из дроби:

$\sqrt[4]{\frac{3^{12}}{2^8}} = \frac{\sqrt[4]{3^{12}}}{\sqrt[4]{2^8}}$

Применяем свойство корня из степени:

$\frac{\sqrt[4]{3^{12}}}{\sqrt[4]{2^8}} = \frac{3^{\frac{12}{4}}}{2^{\frac{8}{4}}} = \frac{3^3}{2^2} = \frac{27}{4}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $6\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{27}{4}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[5]{\frac{5^5}{13^{10}}}$.

Используем свойство корня из дроби:

$\sqrt[5]{\frac{5^5}{13^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{5^5}}{\sqrt[5]{13^{10}}}$

Далее преобразуем в степени с рациональными показателями:

$\frac{\sqrt[5]{5^5}}{\sqrt[5]{13^{10}}} = \frac{5^{\frac{5}{5}}}{13^{\frac{10}{5}}} = \frac{5^1}{13^2} = \frac{5}{169}$

Ответ: $\frac{5}{169}$