Номер 35.4, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.4, страница 134.

35.4 a) $\sqrt[4]{\frac{125}{0,2}}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{16}{0,0625}}$;

В) $\sqrt[3]{\frac{27}{0,125}}$;

Г) $\sqrt[6]{\frac{16}{0,25}}$.

а) Для того чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[4]{\frac{125}{0,2}}$, сначала преобразуем десятичную дробь в знаменателе в обыкновенную дробь.

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь подставим полученную дробь в исходное выражение и упростим подкоренное выражение:

$\sqrt[4]{\frac{125}{\frac{1}{5}}} = \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625}$

Далее извлечем корень четвертой степени. Нам нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 625. Таким числом является 5, поскольку $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

$\sqrt[4]{625} = 5$

Ответ: 5

б) Для вычисления выражения $\sqrt[4]{\frac{16}{0,0625}}$ преобразуем десятичную дробь $0,0625$ в обыкновенную.

$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$

Подставим это значение в выражение:

$\sqrt[4]{\frac{16}{\frac{1}{16}}} = \sqrt[4]{16 \cdot 16} = \sqrt[4]{256}$

Теперь извлечем корень четвертой степени из 256. Найдем число, которое в четвертой степени равно 256. Таким числом является 4, так как $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$.

$\sqrt[4]{256} = 4$

Ответ: 4

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{\frac{27}{0,125}}$. Преобразуем десятичную дробь $0,125$ в обыкновенную.

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Подставим полученную дробь в исходное выражение:

$\sqrt[3]{\frac{27}{\frac{1}{8}}} = \sqrt[3]{27 \cdot 8}$

Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{27 \cdot 8} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{8}$

Вычислим каждый корень по отдельности: $\sqrt[3]{27} = 3$ (поскольку $3^3=27$) и $\sqrt[3]{8} = 2$ (поскольку $2^3=8$).

$3 \cdot 2 = 6$

Ответ: 6

г) Для решения примера $\sqrt[6]{\frac{16}{0,25}}$ преобразуем знаменатель $0,25$ в обыкновенную дробь.

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Подставим дробь в выражение и упростим его:

$\sqrt[6]{\frac{16}{\frac{1}{4}}} = \sqrt[6]{16 \cdot 4} = \sqrt[6]{64}$

Теперь необходимо извлечь корень шестой степени из 64. Найдем число, которое при возведении в шестую степень дает 64. Таким числом является 2, так как $2^6 = 64$.

$\sqrt[6]{64} = 2$

Ответ: 2