Номер 35.11, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.11, страница 135.

35.11 а) $(2\sqrt{5})^4$;

б) $(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$;

в) $(3 \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5$;

г) $(\frac{1}{b} \sqrt[p]{b})^{2p}$.

а) Чтобы упростить выражение $(2\sqrt{5})^4$, воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(2\sqrt{5})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{5})^4$.
Вычислим каждую часть по отдельности:
$2^4 = 16$.
Квадратный корень можно представить в виде степени $1/2$. Тогда $(\sqrt{5})^4 = (5^{1/2})^4 = 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 5^2 = 25$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$16 \cdot 25 = 400$.
Ответ: 400.

б) Упростим выражение $(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$. Будем считать, что переменные $b$ и $n$ принимают значения, при которых выражение определено ($b > 0$, $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$).
Применим свойство степени произведения $(xy)^m = x^m y^m$ к исходному выражению:
$(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n} = b^{2n} \cdot (\sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$.
Упростим второй множитель, представив корень n-ой степени как возведение в степень $1/n$:
$(\sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n} = ((\frac{1}{b})^{1/n})^{2n} = (\frac{1}{b})^{\frac{1}{n} \cdot 2n} = (\frac{1}{b})^2 = \frac{1}{b^2}$.
Подставим результат обратно в выражение и воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$b^{2n} \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{b^{2n}}{b^2} = b^{2n-2}$.
Ответ: $b^{2n-2}$.

в) Упростим выражение $(3 \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5$.
Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$(3 \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5 = 3^5 \cdot (\sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5$.
Вычислим значение $3^5$:
$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Согласно определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Поэтому:
$(\sqrt[5]{\frac{1}{2}})^5 = \frac{1}{2}$.
Перемножим полученные результаты:
$243 \cdot \frac{1}{2} = \frac{243}{2}$.
Ответ: $\frac{243}{2}$.

г) Упростим выражение $(\frac{1}{b} \sqrt[p]{b})^{2p}$. Будем считать, что $b>0$ и $p \in \mathbb{N}, p \ge 2$.
Воспользуемся свойством степени произведения:
$(\frac{1}{b} \sqrt[p]{b})^{2p} = (\frac{1}{b})^{2p} \cdot (\sqrt[p]{b})^{2p}$.
Упростим каждый из множителей. Для первого множителя: $(\frac{1}{b})^{2p} = \frac{1}{b^{2p}} = b^{-2p}$.
Для второго множителя, представим корень в виде степени: $(\sqrt[p]{b})^{2p} = (b^{1/p})^{2p} = b^{\frac{1}{p} \cdot 2p} = b^2$.
Теперь перемножим упрощенные выражения, используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m a^k = a^{m+k}$:
$b^{-2p} \cdot b^2 = b^{-2p+2} = b^{2-2p}$.
Ответ: $b^{2-2p}$.