Номер 35.8, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.8, страница 135.

35.8 a) $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$;

б) $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}}$;

В) $\frac{\sqrt[7]{256}}{\sqrt[7]{2}}$;

Г) $\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}}$.

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$, воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{54}{2}}$
Выполним деление под знаком корня:
$\sqrt[3]{27}$
Так как $3^3 = 27$, то кубический корень из 27 равен 3.
$\sqrt[3]{27} = 3$
Ответ: 3

б)

Для упрощения выражения $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}}$ используем то же свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}} = \sqrt[5]{\frac{3}{96}}$
Сократим дробь под знаком корня:
$\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$
Теперь извлечем корень пятой степени из числителя и знаменателя:
$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}$
Мы знаем, что $\sqrt[5]{1} = 1$ и $2^5 = 32$, поэтому $\sqrt[5]{32} = 2$.
Таким образом, результат равен $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[7]{256}}{\sqrt[7]{2}}$, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[7]{256}}{\sqrt[7]{2}} = \sqrt[7]{\frac{256}{2}}$
Выполним деление под корнем:
$\sqrt[7]{128}$
Найдем число, седьмая степень которого равна 128. Это число 2, так как $2^7 = 128$.
$\sqrt[7]{128} = 2$
Ответ: 2

г)

Упростим выражение $\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}}$, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}} = \sqrt[4]{\frac{1024}{4}}$
Выполним деление под корнем:
$\sqrt[4]{256}$
Найдем число, четвертая степень которого равна 256. Это число 4, так как $4^4 = 256$.
$\sqrt[4]{256} = 4$
Ответ: 4