Номер 35.5, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.5, страница 135.

35.5 a) $\sqrt[3]{5^6 \cdot 2^9}$;

б) $\sqrt[5]{0,2^{10} \cdot 10^{10}}$;

В) $\sqrt[3]{0,2^3 \cdot 5^6}$;

Г) $\sqrt[6]{36^3 \cdot 2^6}$.

а) $\sqrt[3]{5^6 \cdot 2^9}$

Для решения воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойством извлечения корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[3]{5^6 \cdot 2^9} = \sqrt[3]{5^6} \cdot \sqrt[3]{2^9}$

Вычислим каждый множитель отдельно:

$\sqrt[3]{5^6} = 5^{\frac{6}{3}} = 5^2 = 25$

$\sqrt[3]{2^9} = 2^{\frac{9}{3}} = 2^3 = 8$

Теперь перемножим результаты:

$25 \cdot 8 = 200$

Альтернативный способ — сгруппировать степени под корнем:

$\sqrt[3]{5^6 \cdot 2^9} = \sqrt[3]{(5^2)^3 \cdot (2^3)^3} = \sqrt[3]{(5^2 \cdot 2^3)^3} = 5^2 \cdot 2^3 = 25 \cdot 8 = 200$

Ответ: $200$

б) $\sqrt[5]{0,2^{10} \cdot 10^{10}}$

Воспользуемся свойством степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для подкоренного выражения:

$\sqrt[5]{0,2^{10} \cdot 10^{10}} = \sqrt[5]{(0,2 \cdot 10)^{10}}$

Выполним умножение в скобках:

$0,2 \cdot 10 = 2$

Подставим результат обратно в выражение:

$\sqrt[5]{2^{10}}$

Теперь используем свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[5]{2^{10}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$

Ответ: $4$

в) $\sqrt[3]{0,2^3 \cdot 5^6}$

Используем свойство $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, чтобы разбить корень на произведение корней:

$\sqrt[3]{0,2^3 \cdot 5^6} = \sqrt[3]{0,2^3} \cdot \sqrt[3]{5^6}$

Вычислим каждый корень отдельно, используя свойство $\sqrt[n]{a^n}=a$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[3]{0,2^3} = 0,2$

$\sqrt[3]{5^6} = 5^{\frac{6}{3}} = 5^2 = 25$

Перемножим полученные значения:

$0,2 \cdot 25 = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5$

Ответ: $5$

г) $\sqrt[6]{36^3 \cdot 2^6}$

Сначала преобразуем основание степени $36$:

$36 = 6^2$

Тогда $36^3 = (6^2)^3 = 6^{2 \cdot 3} = 6^6$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[6]{6^6 \cdot 2^6}$

Воспользуемся свойством $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для подкоренного выражения:

$\sqrt[6]{(6 \cdot 2)^6} = \sqrt[6]{12^6}$

Так как корень шестой степени извлекается из выражения в шестой степени, они взаимно уничтожаются (для положительных чисел):

$12$

Ответ: $12$