Номер 35.9, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.9, страница 135.

35.9 a) $\sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27}$;

б) $\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3}$.

а)

Для решения данного примера воспользуемся свойством произведения корней с одинаковыми показателями: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27} = \sqrt[4]{(32 \cdot 3) \cdot (8 \cdot 27)}$

Сгруппируем множители под корнем для удобства вычисления:

$\sqrt[4]{(32 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 27)}$

Теперь представим числа в виде степеней, чтобы упростить извлечение корня.

$32 = 2^5$

$8 = 2^3$

$27 = 3^3$

Подставим эти значения в выражение под корнем:

$\sqrt[4]{(2^5 \cdot 2^3) \cdot (3^1 \cdot 3^3)}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[4]{2^{5+3} \cdot 3^{1+3}} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 3^4}$

Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойством $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[4]{2^8} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 2^{\frac{8}{4}} \cdot 3^{\frac{4}{4}} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$

Ответ: $12$

б)

Для решения этого примера мы также воспользуемся свойством произведения корней с одинаковыми показателями: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применим это свойство:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3} = \sqrt[5]{(2^5 \cdot 7^2) \cdot 7^3}$

Объединим множители с одинаковым основанием под корнем, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot (7^2 \cdot 7^3)} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 7^{2+3}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 7^5}$

Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойством $\sqrt[n]{a^n} = a$:

$\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{7^5} = 2 \cdot 7 = 14$

Ответ: $14$