Номер 35.15, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.15, страница 135.

35.15 a) $\sqrt{a^2b^4}$;

б) $\sqrt[3]{a^3b^6}$;

В) $\sqrt[4]{a^4b^8}$;

Г) $\sqrt[5]{a^5b^{15}}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{a^2b^4} $, воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a^2b^4} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^4} $. Поскольку корень квадратный (четной степени), при извлечении корня из выражения в четной степени необходимо использовать модуль: $ \sqrt{x^2} = |x| $. Таким образом, $ \sqrt{a^2} = |a| $. Для второго множителя имеем $ \sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} $. Так как $ b^2 \ge 0 $ для любого действительного $ b $, то $ \sqrt{(b^2)^2} = b^2 $. Объединяя результаты, получаем $ |a|b^2 $. Ответ: $ |a|b^2 $

б) Для упрощения выражения $ \sqrt[3]{a^3b^6} $ применим свойство корня из произведения: $ \sqrt[3]{a^3b^6} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^6} $. Корень кубический является корнем нечетной степени, поэтому $ \sqrt[n]{x^n} = x $ для любого действительного $ x $, если $ n $ нечетно. Следовательно, $ \sqrt[3]{a^3} = a $. Второй множитель $ b^6 $ можно представить как $ (b^2)^3 $, тогда $ \sqrt[3]{b^6} = \sqrt[3]{(b^2)^3} = b^2 $. Перемножая полученные выражения, имеем $ a \cdot b^2 = ab^2 $. Ответ: $ ab^2 $

в) Упростим выражение $ \sqrt[4]{a^4b^8} $. Это корень четвертой степени, то есть корень четной степени. Используем свойство корня из произведения: $ \sqrt[4]{a^4b^8} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^8} $. Для корня четной степени справедливо равенство $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $. Поэтому $ \sqrt[4]{a^4} = |a| $. Выражение $ b^8 $ можно записать как $ (b^2)^4 $, тогда $ \sqrt[4]{b^8} = \sqrt[4]{(b^2)^4} = |b^2| $. Так как $ b^2 $ всегда неотрицательно, $ |b^2| = b^2 $. Итоговый результат: $ |a|b^2 $. Ответ: $ |a|b^2 $

г) Чтобы упростить выражение $ \sqrt[5]{a^5b^{15}} $, которое содержит корень нечетной (пятой) степени, воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt[5]{a^5b^{15}} = \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{b^{15}} $. Для корня нечетной степени $ \sqrt[n]{x^n} = x $. Таким образом, $ \sqrt[5]{a^5} = a $. Степень $ b^{15} $ можно представить как $ (b^3)^5 $, поэтому $ \sqrt[5]{b^{15}} = \sqrt[5]{(b^3)^5} = b^3 $. Перемножив результаты, получаем $ a \cdot b^3 = ab^3 $. Ответ: $ ab^3 $