Номер 35.19, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.19, страница 136.

35.19 Сравните числа:

а) $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$;

в) $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$;

г) $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$.

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 2 равно 4.
Первое число уже имеет показатель 4: $\sqrt[4]{26}$.
Второе число $\sqrt{5}$ представим в виде корня с показателем 4: $\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[2 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[4]{25}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $26 > 25$.
Так как функция $y = \sqrt[n]{x}$ (при натуральном $n > 1$) является возрастающей для $x \ge 0$, из $26 > 25$ следует, что $\sqrt[4]{26} > \sqrt[4]{25}$.
Следовательно, $\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 2 равно 6.
Приведем оба числа к корню 6-й степени:
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.
$\sqrt{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $25 < 27$.
Так как функция корня является возрастающей, из $25 < 27$ следует, что $\sqrt[6]{25} < \sqrt[6]{27}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

в) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 6 равно 6.
Второе число уже имеет показатель 6: $\sqrt[6]{47}$.
Первое число $\sqrt[3]{7}$ представим в виде корня с показателем 6: $\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[6]{49}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $49 > 47$.
Так как функция корня является возрастающей, из $49 > 47$ следует, что $\sqrt[6]{49} > \sqrt[6]{47}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$.
Ответ: $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$.

г) Чтобы сравнить отрицательные числа $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$, сначала сравним их модули (положительные значения): $\sqrt[4]{4}$ и $\sqrt[3]{3}$.
Приведем корни к общему показателю. Упростим первый корень: $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2}$.
Теперь сравним $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$. Наименьшее общее кратное показателей 2 и 3 равно 6.
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.
Сравним подкоренные выражения: $8 < 9$.
Значит, $\sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9}$, и следовательно, $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$, или $\sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.
При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный. Если $a$ и $b$ - положительные числа и $a < b$, то $-a > -b$.
Так как $\sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$, то $-\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3}$.