Номер 35.24, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.24, страница 136.

35.24 а) $\sqrt[3]{\sqrt{x}}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}}$;

в) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}}$;

г) $\sqrt[3]{\sqrt{ab}}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$ воспользуемся свойством вложенных корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.

Внешний корень является квадратным (показатель 2), а внутренний — кубическим (показатель 3).

Перемножаем показатели корней: $2 \cdot 3 = 6$.

Таким образом, получаем: $\sqrt{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[2 \cdot 3]{x} = \sqrt[6]{x}$.

Ответ: $\sqrt[6]{x}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}}$. Сначала используем свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[m \cdot n]{b}$.

Перемножаем показатели корней 3 и 2: $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{a^3} = \sqrt[6]{a^3}$.

Затем сокращаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 3, используя свойство $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{b^m}$.

$\sqrt[6]{a^3} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{a}$.

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}}$. Применим свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[m \cdot n]{b}$.

Перемножаем показатели корней 5 и 3: $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}} = \sqrt[5 \cdot 3]{a^{10}} = \sqrt[15]{a^{10}}$.

Далее сократим показатель корня (15) и показатель степени подкоренного выражения (10) на их наибольший общий делитель, равный 5, по свойству $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{b^m}$.

$\sqrt[15]{a^{10}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a^{2 \cdot 5}} = \sqrt[3]{a^2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{a^2}$.

г)

Упростим выражение $\sqrt{\sqrt[3]{ab}}$. Показатель внешнего (квадратного) корня равен 2, а внутреннего (кубического) — 3.

Используем свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{c}} = \sqrt[m \cdot n]{c}$.

Перемножаем показатели: $2 \cdot 3 = 6$.

$\sqrt{\sqrt[3]{ab}} = \sqrt[2 \cdot 3]{ab} = \sqrt[6]{ab}$.

В данном случае дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\sqrt[6]{ab}$.