Номер 35.26, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.26, страница 136.

35.26 Вычислите:

a) $\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}};$

б) $\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}};$

в) $\sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}};$

г) $\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3}.$

а) Для вычисления произведения корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:
$\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt[4]{(6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5})}$.
Выражение под корнем является произведением суммы и разности двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$(6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Теперь вычислим корень четвертой степени из полученного числа:
$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Ответ: 2

б) Аналогично предыдущему примеру, объединим множители под один корень пятой степени:
$\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}} = \sqrt[5]{(6 - 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17})}$.
Применим формулу разности квадратов к подкоренному выражению:
$(6 - 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17}) = 6^2 - (2\sqrt{17})^2 = 36 - 4 \cdot 17 = 36 - 68 = -32$.
Теперь вычислим корень пятой степени:
$\sqrt[5]{-32} = -2$, так как $(-2)^5 = -32$.
Ответ: -2

в) Объединим множители под один кубический корень:
$\sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 - \sqrt{37})(8 + \sqrt{37})}$.
Применим формулу разности квадратов:
$(8 - \sqrt{37})(8 + \sqrt{37}) = 8^2 - (\sqrt{37})^2 = 64 - 37 = 27$.
Вычислим кубический корень:
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Ответ: 3

г) Снова используем свойство произведения корней и формулу разности квадратов:
$\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} = \sqrt[3]{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3)}$.
Вычисляем подкоренное выражение:
$(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3) = (\sqrt{17})^2 - 3^2 = 17 - 9 = 8$.
Вычислим кубический корень из результата:
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Ответ: 2