Номер 36.2, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.2, страница 137.

36.2 а) $\sqrt[3]{24}$;

б) $\sqrt[4]{160}$;

в) $\sqrt[3]{512}$;

г) $\sqrt[4]{486}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{24}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа.
Число $24$ можно представить как произведение $8$ и $3$. Так как $8 = 2^3$, то разложение будет $24 = 2^3 \cdot 3$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3}$.
Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n \cdot b} = a \sqrt[n]{b}$, вынесем множитель $2^3$ из-под знака кубического корня:
$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{3}$.

б) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{160}$ вынесем множитель из-под знака корня. Разложим число $160$ на множители таким образом, чтобы выделить множитель, являющийся четвертой степенью какого-либо числа.
$160 = 16 \cdot 10$. Поскольку $16 = 2^4$, получаем разложение: $160 = 2^4 \cdot 10$.
Подставим это разложение в выражение:
$\sqrt[4]{160} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 10}$.
Вынесем множитель $2^4$ из-под знака корня четвертой степени:
$\sqrt[4]{2^4 \cdot 10} = 2\sqrt[4]{10}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{10}$.

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{512}$, нужно определить число, которое при возведении в куб (третью степень) дает $512$.
Можно разложить $512$ на простые множители: $512 = 2^9$.
Представим $2^9$ как степень с показателем, кратным $3$: $2^9 = (2^3)^3 = 8^3$.
Следовательно,
$\sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{8^3} = 8$.
Ответ: $8$.

г) Упростим выражение $\sqrt[4]{486}$, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого разложим число $486$ на множители.
$486$ делится на $2$: $486 = 2 \cdot 243$.
Число $243$ является степенью числа $3$: $243 = 3^5$.
Таким образом, $486 = 2 \cdot 3^5$.
Поскольку мы извлекаем корень четвертой степени, нам нужно выделить множитель в четвертой степени. Представим $3^5$ как $3^4 \cdot 3$:
$486 = 2 \cdot (3^4 \cdot 3) = 3^4 \cdot (2 \cdot 3) = 3^4 \cdot 6$.
Подставим полученное разложение в исходное выражение:
$\sqrt[4]{486} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 6}$.
Вынесем множитель $3^4$ из-под знака корня:
$\sqrt[4]{3^4 \cdot 6} = 3\sqrt[4]{6}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{6}$.