Номер 36.5, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.5, страница 137.

36.5 a) $\sqrt{75t^4r^3}$;

б) $\frac{x^2}{b} \sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}};

В) $\sqrt[3]{250x^4y^7}$;

Г) $3mn \sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5n^9}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{75t^4r^3}$, нужно вынести множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты.

1. Разложим на множители число 75: $75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$.

2. Разложим переменные: $t^4 = (t^2)^2$ и $r^3 = r^2 \cdot r$.

3. Подставим разложения в исходное выражение: $\sqrt{75t^4r^3} = \sqrt{5^2 \cdot 3 \cdot (t^2)^2 \cdot r^2 \cdot r}$.

4. Сгруппируем множители, являющиеся полными квадратами: $\sqrt{(5^2 \cdot (t^2)^2 \cdot r^2) \cdot (3r)} = \sqrt{(5t^2r)^2 \cdot 3r}$.

5. Вынесем полные квадраты из-под знака корня. Область допустимых значений для исходного выражения требует $r^3 \ge 0$, что означает $r \ge 0$. Следовательно, $\sqrt{r^2} = r$.

$\sqrt{(5t^2r)^2} \cdot \sqrt{3r} = 5t^2r\sqrt{3r}$.

Ответ: $5t^2r\sqrt{3r}$

б) Упростим выражение $\frac{x^2}{b} \sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}}$. Сначала вынесем множители из-под знака кубического корня.

1. Разложим числитель и знаменатель дроби под корнем на множители, являющиеся полными кубами:

Числитель: $72a^4b^3 = (8 \cdot 9) \cdot (a^3 \cdot a) \cdot b^3 = (2^3 \cdot a^3 \cdot b^3) \cdot 9a = (2ab)^3 \cdot 9a$.

Знаменатель: $343x^3 = 7^3 \cdot x^3 = (7x)^3$.

2. Вынесем полные кубы из-под знака корня:

$\sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}} = \sqrt[3]{\frac{(2ab)^3 \cdot 9a}{(7x)^3}} = \frac{\sqrt[3]{(2ab)^3} \cdot \sqrt[3]{9a}}{\sqrt[3]{(7x)^3}} = \frac{2ab}{7x}\sqrt[3]{9a}$.

3. Умножим полученное выражение на множитель перед корнем $\frac{x^2}{b}$:

$\frac{x^2}{b} \cdot \frac{2ab}{7x}\sqrt[3]{9a} = \frac{2abx^2}{7bx}\sqrt[3]{9a}$.

4. Сократим дробь, учитывая, что $b \ne 0$ и $x \ne 0$:

$\frac{2ax}{7}\sqrt[3]{9a}$.

Ответ: $\frac{2ax}{7}\sqrt[3]{9a}$

в) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{250x^4y^7}$, вынесем множители из-под знака кубического корня.

1. Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными кубами:

Числовой коэффициент: $250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2$.

Переменные: $x^4 = x^3 \cdot x$ и $y^7 = y^6 \cdot y = (y^2)^3 \cdot y$.

2. Подставим разложения в выражение:

$\sqrt[3]{250x^4y^7} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2 \cdot x^3 \cdot x \cdot (y^2)^3 \cdot y}$.

3. Сгруппируем полные кубы:

$\sqrt[3]{(5^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3) \cdot (2xy)} = \sqrt[3]{(5xy^2)^3 \cdot 2xy}$.

4. Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{(5xy^2)^3} \cdot \sqrt[3]{2xy} = 5xy^2\sqrt[3]{2xy}$.

Ответ: $5xy^2\sqrt[3]{2xy}$

г) Упростим выражение $3mn \sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5n^9}}$. Для корректности вычислений будем считать, что все переменные принимают положительные значения, чтобы подкоренное выражение было определено.

1. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$3mn \frac{\sqrt[4]{80x^3}}{\sqrt[4]{243m^5n^9}}$.

2. Упростим корень в числителе, вынеся из-под корня множитель, являющийся полной четвертой степенью:

$\sqrt[4]{80x^3} = \sqrt[4]{16 \cdot 5 \cdot x^3} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 5x^3} = 2\sqrt[4]{5x^3}$.

3. Упростим корень в знаменателе:

$\sqrt[4]{243m^5n^9} = \sqrt[4]{81 \cdot 3 \cdot m^4 \cdot m \cdot n^8 \cdot n} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (mn^2)^4 \cdot 3mn} = 3mn^2\sqrt[4]{3mn}$.

4. Подставим упрощенные выражения обратно:

$3mn \cdot \frac{2\sqrt[4]{5x^3}}{3mn^2\sqrt[4]{3mn}}$.

5. Сократим дробь, состоящую из множителей перед корнями:

$\frac{3mn \cdot 2}{3mn^2} \cdot \frac{\sqrt[4]{5x^3}}{\sqrt[4]{3mn}} = \frac{2}{n} \cdot \frac{\sqrt[4]{5x^3}}{\sqrt[4]{3mn}}$.

6. Объединим два корня в один:

$\frac{2}{n}\sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}}$.

Ответ: $\frac{2}{n}\sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}}$