Номер 36.10, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.10, страница 138.

36.10 Упростите выражение:

a) $\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3}$;

б) $2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384}$;

в) $2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486}$;

г) $\sqrt[4]{512} - \sqrt[4]{2}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3} $, необходимо вынести множитель из-под знака первого корня, приведя его к такому же подкоренному выражению, как и у второго члена.

1. Разложим число 24 на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа: $ 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 $.

2. Вынесем множитель из-под знака корня:

$ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3} $.

3. Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$ 2\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} $.

4. Выполним вычитание, так как подкоренные выражения одинаковы:

$ (2-1)\sqrt[3]{3} = 1 \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{3} $.

б) Чтобы упростить выражение $ 2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384} $, упростим второй член, вынеся множитель из-под знака корня.

1. Разложим число 384 на множители. Заметив, что первый член содержит корень из 3, проверим, делится ли 384 на 3: $ 384 \div 3 = 128 $.

2. Число 128 является седьмой степенью числа 2: $ 2^7 = 128 $. Таким образом, $ 384 = 128 \cdot 3 = 2^7 \cdot 3 $.

3. Вынесем множитель из-под знака корня:

$ \sqrt[7]{384} = \sqrt[7]{128 \cdot 3} = \sqrt[7]{2^7} \cdot \sqrt[7]{3} = 2\sqrt[7]{3} $.

4. Подставим упрощенный корень в исходное выражение:

$ 2\sqrt[7]{3} + 2\sqrt[7]{3} $.

5. Сложим подобные члены:

$ (2+2)\sqrt[7]{3} = 4\sqrt[7]{3} $.

Ответ: $ 4\sqrt[7]{3} $.

в) Чтобы упростить выражение $ 2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486} $, упростим оба члена, вынося множители из-под знаков корней.

1. Упростим первый член $ 2\sqrt[5]{64} $. Разложим 64 на множители: $ 64 = 32 \cdot 2 = 2^5 \cdot 2 $. Вынесем множитель:

$ 2\sqrt[5]{64} = 2\sqrt[5]{32 \cdot 2} = 2 \cdot (\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{2}) = 2 \cdot (2\sqrt[5]{2}) = 4\sqrt[5]{2} $.

2. Упростим второй член $ \sqrt[5]{486} $. Разложим 486 на множители: $ 486 = 243 \cdot 2 = 3^5 \cdot 2 $. Вынесем множитель:

$ \sqrt[5]{486} = \sqrt[5]{243 \cdot 2} = \sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{2} = 3\sqrt[5]{2} $.

3. Подставим упрощенные члены в исходное выражение:

$ 4\sqrt[5]{2} + 3\sqrt[5]{2} $.

4. Сложим подобные члены:

$ (4+3)\sqrt[5]{2} = 7\sqrt[5]{2} $.

Ответ: $ 7\sqrt[5]{2} $.

г) Чтобы упростить выражение $ \sqrt[4]{512} - \sqrt[4]{2} $, упростим первый член, вынеся множитель из-под знака корня.

1. Разложим число 512 на множители. Поскольку второй член содержит корень из 2, проверим деление на 2: $ 512 \div 2 = 256 $.

2. Число 256 является четвертой степенью числа 4: $ 4^4 = 256 $. Таким образом, $ 512 = 256 \cdot 2 = 4^4 \cdot 2 $.

3. Вынесем множитель из-под знака корня:

$ \sqrt[4]{512} = \sqrt[4]{256 \cdot 2} = \sqrt[4]{4^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 4\sqrt[4]{2} $.

4. Подставим полученное значение в исходное выражение:

$ 4\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} $.

5. Выполним вычитание:

$ (4-1)\sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2} $.

Ответ: $ 3\sqrt[4]{2} $.