Номер 36.9, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.9, страница 138.

36.9 Внесите множитель под знак корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

а) $7a^2\sqrt{ab}$;

б) $5ab^2\sqrt[3]{a^2b}$;

в) $5x\sqrt{2x}$;

г) $2m\sqrt[3]{3m^2}$.

а)

Чтобы внести множитель $7a^2$ под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в степень корня (то есть в квадрат) и умножить на подкоренное выражение. Условие о неотрицательности переменных ($a \ge 0$, $b \ge 0$) гарантирует, что множитель $7a^2$ также неотрицателен, и знак выражения не изменится.

$7a^2\sqrt{ab} = \sqrt{(7a^2)^2 \cdot ab}$

Возводим множитель $7a^2$ в квадрат:

$(7a^2)^2 = 7^2 \cdot (a^2)^2 = 49a^4$

Умножаем результат на исходное подкоренное выражение $ab$:

$\sqrt{49a^4 \cdot ab} = \sqrt{49a^{4+1}b} = \sqrt{49a^5b}$

Ответ: $\sqrt{49a^5b}$.

б)

Чтобы внести множитель $5ab^2$ под знак кубического корня, необходимо возвести его в куб и умножить на подкоренное выражение $a^2b$. Так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$, множитель $5ab^2$ является неотрицательным.

$5ab^2\sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{(5ab^2)^3 \cdot a^2b}$

Возводим множитель $5ab^2$ в куб:

$(5ab^2)^3 = 5^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = 125a^3b^6$

Умножаем результат на исходное подкоренное выражение $a^2b$:

$\sqrt[3]{125a^3b^6 \cdot a^2b} = \sqrt[3]{125a^{3+2}b^{6+1}} = \sqrt[3]{125a^5b^7}$

Ответ: $\sqrt[3]{125a^5b^7}$.

в)

Чтобы внести множитель $5x$ под знак квадратного корня, возводим его в квадрат. По условию $x \ge 0$, поэтому $5x \ge 0$.

$5x\sqrt{2x} = \sqrt{(5x)^2 \cdot 2x}$

Возводим множитель $5x$ в квадрат:

$(5x)^2 = 25x^2$

Умножаем результат на подкоренное выражение $2x$:

$\sqrt{25x^2 \cdot 2x} = \sqrt{50x^{2+1}} = \sqrt{50x^3}$

Ответ: $\sqrt{50x^3}$.

г)

Чтобы внести множитель $2m$ под знак кубического корня, возводим его в куб. По условию $m \ge 0$, поэтому $2m \ge 0$.

$2m\sqrt[3]{3m^2} = \sqrt[3]{(2m)^3 \cdot 3m^2}$

Возводим множитель $2m$ в куб:

$(2m)^3 = 2^3 \cdot m^3 = 8m^3$

Умножаем результат на подкоренное выражение $3m^2$:

$\sqrt[3]{8m^3 \cdot 3m^2} = \sqrt[3]{24m^{3+2}} = \sqrt[3]{24m^5}$

Ответ: $\sqrt[3]{24m^5}$.