Номер 36.4, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.4, страница 137.

36.4 а) $\sqrt{25a^3}$;

б) $\sqrt[4]{405a^5}$;

В) $\sqrt[3]{24x^3}$;

Г) $\sqrt[5]{160m^{10}}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{25a^3}$, представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень.
Число $25$ является полным квадратом: $25 = 5^2$.
Степень $a^3$ можно представить как $a^3 = a^2 \cdot a$. Выражение $\sqrt{25a^3}$ имеет смысл при $a^3 \ge 0$, то есть при $a \ge 0$.
Тогда:
$\sqrt{25a^3} = \sqrt{25 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{5^2 \cdot a^2 \cdot a}$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, получаем:
$\sqrt{5^2 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = 5 \cdot |a| \cdot \sqrt{a}$.
Так как по области определения $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Следовательно, $5 \cdot a \cdot \sqrt{a} = 5a\sqrt{a}$.
Ответ: $5a\sqrt{a}$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{405a^5}$. Необходимо вынести множитель из-под знака корня четвертой степени.
Разложим число $405$ на простые множители: $405 = 5 \cdot 81 = 5 \cdot 3^4$.
Степень $a^5$ представим как $a^5 = a^4 \cdot a$. Выражение $\sqrt[4]{405a^5}$ имеет смысл при $a^5 \ge 0$, то есть при $a \ge 0$.
Тогда:
$\sqrt[4]{405a^5} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 5 \cdot a^4 \cdot a} = \sqrt[4]{(3^4 \cdot a^4) \cdot 5a}$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, получаем:
$\sqrt[4]{3^4 \cdot a^4} \cdot \sqrt[4]{5a} = \sqrt[4]{(3a)^4} \cdot \sqrt[4]{5a} = |3a| \cdot \sqrt[4]{5a}$.
Так как по области определения $a \ge 0$, то $|3a| = 3a$.
Следовательно, $3a\sqrt[4]{5a}$.
Ответ: $3a\sqrt[4]{5a}$.

в) Упростим выражение $\sqrt[3]{24x^3}$ путем вынесения множителя из-под знака кубического корня.
Разложим число $24$ на множители так, чтобы один из них был кубом целого числа: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Множитель $x^3$ уже является кубом.
Поскольку корень нечетной степени (кубический), подкоренное выражение может быть любым действительным числом, и для переменной $x$ нет ограничений.
Тогда:
$\sqrt[3]{24x^3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3 \cdot x^3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot x^3 \cdot 3}$.
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt[3]{2^3 \cdot x^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2 \cdot x \cdot \sqrt[3]{3} = 2x\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $2x\sqrt[3]{3}$.

г) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[5]{160m^{10}}$.
Разложим число $160$ на множители, выделяя степень с показателем 5: $160 = 32 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$.
Степень $m^{10}$ можно представить как степень с показателем 5: $m^{10} = (m^2)^5$.
Поскольку корень нечетной степени (пятой), ограничений на переменную $m$ нет.
Тогда:
$\sqrt[5]{160m^{10}} = \sqrt[5]{32 \cdot 5 \cdot m^{10}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot (m^2)^5 \cdot 5}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt[5]{2^5 \cdot (m^2)^5 \cdot 5} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{(m^2)^5} \cdot \sqrt[5]{5} = 2 \cdot m^2 \cdot \sqrt[5]{5} = 2m^2\sqrt[5]{5}$.
Ответ: $2m^2\sqrt[5]{5}$.